1 Два тела движутся в лабораторной системе отсчёта с постоянными нерелятивистскими скоростями вдоль параллельных прямых.

a Можно ли найти такую систему отсчёта, в которой траектории тел пересекаются?

A H

b Если такая СО может быть найдена и тела удовлетворяют нужным для этого условиям, то получается, что мы можем добиться пересечения их траекторий в какой-то момент времени. Но как этот факт согласуется с тем, что мы наблюдаем в лабораторной СО (движение тел по вдоль параллельных непересекающихся прямых)?

A

2 Анна сидит на краю равномерно вращающейся карусели радиуса $6~м$. Боб стоит на расстоянии $12~м$ от центра карусели. В какой-то момент, Боб видит, как Анна движется прямо на него со скоростью $1~м/с$.

С какой скоростью в этот же момент движется Боб относительно Анны?

A H

3 Тележка едет с постоянной скоростью $\vec{v}$ по прямой дороге. Мальчик, стоящий на прилегающей поляне, замечает тележку и хочет прокатиться на ней.

В каком направлении ему нужно побежать, чтобы поймать тележку?

A H

Решите задачу в общем виде: обозначьте скорость тележки за $v$, максимальную скорость мальчика за $u$, а начальные положения мальчика и тележки как показано на рисунке.

4^★ Группа золотоискателей Аляски доходит до прямой, широкой реки, которая течёт с постоянной скоростью $v$. Подходя к берегу, искателям сразу же бросился в глаза огромный золотой самородок, лежащий на противоположном берегу реки. Согласно законам Аляски, первый, кто доберётся до какого-либо конкретного места, имеет право основать там шахту: скорость имеет решающее значение!
У Джо, одного из искателей, есть с собой каноэ, в котором он может грести в неподвижной воде с той же скоростью, с которой он ходит по берегу $u$.

a Как Джо следует добираться до куска золота, если $u/v$ меньше некоторого критического значения?

A H

b Как Джо следует добираться до куска золота, если $u/v$ больше некоторого критического значения?

A

Считать, что Джо сначала переплывает реку, а затем (если это не обходимо) идёт пешком вдоль берега.

5 Поверхность лабораторного стола имеет форму квадрата со стороной $3d = 3~м$. По центру параллельно столу расположена конвейерная лента ширины $d = 1~м$, движущаяся с постоянной скоростью $V = 3~м/с$. Высота верхней поверхности ленты совпадает с высотой поверхности стола.
Маленький плоский диск помещают посередине одной из сторон (в точке $A$ как показано на рисунке) и сообщают ему начальную скорость $v_0 = 4~м/с$ перпендикулярно ленте. Трение между столом и диском пренебрежимо мало, а коэффициент трения диска с поверхностью ленты равен $\mu = 0.5$.

В какой точке стола диск покинет его?

A H

7^★ Математический маятник отпустили с нулевой начальной скоростью из горизонтального положения. По какой кривой будет двигаться конец его вектора ускорения?

A H

8 Математический маятник отпустили с нулевой начальной скоростью из горизонтального положения. Какую из дуг, $AP$ или $PB$, обозначенных на рисунке, он пройдёт быстрее?

A H

9 Траектория тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$, имеет форму параболы.

1 На каком расстоянии от точки бросания находится фокус этой параболы?

A H

2 Под каким углом нужно просить тело, чтобы фокус находился на одной высоте с точкой запуска?

A

Сопротивление воздуха отсутствует (пусть события происходят на луне).

10^★ С вершины башни высоты $h$ во всевозможных направлениях бросают тела с одинаковой начальной скоростью $v_0$.

На какое максимальное горизонтальное расстояние от башни они смогут отдалиться? Сопротивлением воздуха пренебречь.

A H

11^★ На вершине длинного склона, составляющего угол $\theta$ с горизонтом, стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой до высоты $H$. Необходимо проделать в сосуде отверстие, чтобы возникла водяная водяная струя, достигающая поверхности склона на расстоянии $d$, как показано на рисунке.

Найти, на какой высоте от основания сосуда $h$ нужно проделать отверстие, чтобы $d$ приняло максимально возможное значение и найти чему оно будет равно в этом случае.

A H

12 Движущийся велосипед сфотографировали на неподвижную камеру с относительно длинной выдержкой. В результате на фотографии велосипед выглядит размытым; однако, некоторые точки, лежащие на спицах колес, оказались резкими.

Определить форму кривой, на которой лежат эти точки.

A H

13^★ Исследуйте, какую форму будет иметь изображение велосипедного колеса со спицами, записанное на камеру фотофиниша. Такие камеры используют съёмку с очень узкой полоской, фиксируя вертикальное поперечное сечение последовательности событий, происходящих только на финишной прямой; все предметы отображаются такими, какими они выглядели в момент пересечения финишной черты. Горизонтальная ось итогового изображения представляет время; все, что неподвижно на финишной прямой отображается как горизонтальная размытая прямая. На обычной фотографии изображаются различные местоположения предметов в один и тот же момент времени, в нашем же случае фотография будет отображать события, происходившие в различные моменты времени в одном и том же фиксированном местоположении. Для простоты считать, что спицы велосипедного колеса радиальные.

A H

14^★★ Колесо от тележки радиуса $50~м$ имеет $12$ спиц пренебрежимо малой толщины. Это колесо катится по земле без проскальзывания, скорость центра колеса равна $15~м/с$.

Графическими методами оцените минимальную скорость, которую можно придать стреле длины $20~см$, чтобы она смогла пролететь между спицами колеса, не задев их. Вертикальным смещением стрелы можно пренебречь.

A H

92 Стенка вертикального измерительного цилиндра содержит множество равномерно распределённых небольших отверстий. Цилиндр заполняют водой до высоты $H$, из-за чего возникают тонкие водяные струйки, горизонтально выходящие из отверстий. Струйки никак не взаимодействуют друг с другом, а уровень воды в сосуде поддерживается постоянным и равным его начальному значению.

Какую форму имеет огибающая поверхность всех струй?

A H