31 Институт Исследования Космических Аварий (ИИКА) отправило следующее сообщение одному из своих специалистов:
Один из исследовательских космических кораблей, занимающийся добычей титана, обнаружили идеально сферический, однородный астероид; он не имеет атмосферы, но состоит из чистого титана. Для подготовки к добыче металла, был специально вырыт прямой туннель, по которому были отложены железнодорожные пути. Длина туннеля была равна радиусу астероида, концы туннеля расположены на поверхности астероида. К несчастью одна из вагонеток, из-за неисправности в тормозном механизме, сорвалась и проскользнула в шахту. Сначала она разогналась, но затем начала замедляться, развернулась и окончательно остановилась точно в центре туннеля. Известно также, что в момент разворота, вагонетка чуть не сбила капитана, находившегося в тот момент на путях.
ИИКА попросила своего специалиста (вас) посчитать численные значения следующих величин:
Считать, что объем туннеля пренебрежимо мал по сравнению с объемом астероида.
32 Космический корабль с группой, занимающейся добычей титана на борту, обнаружил идеально сферическую планету радиуса $R$. В точке $A$ группа шахтёров начала рыть туннель до центра планеты $O$; дойдя до него, шахтёры убедились, что планета полностью состояла из титана. Было также замечено, что температура вдоль всего туннеля имела постоянное значение $T_0$. На планете также имеется атмосфера с газом молярной массы $M$ при давлении $p_A$.
Далее шахтёры занялись добычей металла и через некоторое время смогли вырыть в планете сферическую полость диаметра $OA$, как показано на рисунке. В результате часть газа из атмосферы переместилась в полость, из-за чего давление в точке $A$ изменилось до значения $p_A'$.
33 Мистер Томпкинс побывал во сне в Стране Чудес, где почти все законы физики не отличаются от тех, к которым мы с вами привыкли, за исключением гравитации, которая теперь “немного” отличается от той, что описывается законами Ньютона. Проснувшись, Томпкинс вспомнил, что все планеты вращаются вокруг единственного во всей Стране Чудес «солнца», а также то, что движение этих планет подчиняется следующим «законам Кеплера»:
1. Планеты двигаются по эллиптическим орбитам, в $\textit{центре}$ которых, находится солнце.
2. Радиус-вектор, соединяющий солнце и планету заметает…(к несчастью, Мистер Томпкинс забыл, что шло дальше).
3. Период обращения всех планет вокруг солнца не зависит от значений большой и малой полуосей и равен одному «году».
35★★ Две кометы с одинаковыми массами и скоростями летят к солнцу по параболическим траекториям, лежащим в одной плоскости. Кометы сталкиваются в точке общего перигелия $P$ (ближайшей к солнцу точке траектории) и распадаются на огромное количество осколков, разлетевшихся во всех направлениях с одинаковыми скоростям.
36★★ Необходимо запустить с Земли космический зонд, который сможет покинуть Солнечную Систему с помощью гравитационного манёвра, использующего относительное движения и гравитацию одной из планет на орбите солнца. На каком расстоянии должна находится “хорошая” планета, чтобы для совершения гравитационного манёвра требовалась минимально возможная начальная скорость зонда относительно земли? Ответ выразите в астрономических единицах (напоминаем, что среднее расстояние от Солнца до Земли равно $1~а.е.$).
Решая задачу разумно сделать следующие приближения:
1. Орбитами всех планет являются окружности, лежащие в одной плоскости
2. Около планеты достаточно учитывать лишь гравитацию, создаваемую этой планетой.
3. Вдалеке от планет учитывается только гравитация Солнца.
37★ Из-за сопротивления воздуха оставленные на орбите искусственные спутники к концу срока службы начинают терять энергию в верхних слоях атмосферы, прежде чем окончательно сгореть, достигнув более плотных нижних слоёв. Можно показать, что спутник, изначально двигавшийся по круговой траектории, будет продолжать двигаться по круговой орбите с медленно уменьшающимся радиусом.
Оставленный спутник весом в полтонны вращается вокруг Земли по примерно круговой орбите. Действующая на него сила сопротивления может быть выражена как $c{\rho}v^2$, где $c = 0.23~м^2$, $\rho$ — плотность воздуха на высоте, на которой находится спутник, $v$ - его скорость.
38★★ Хорошо известно, что Луна всегда более или менее обращена к Земле одной и той же стороной. Данный факт - не совпадение, а прямое следствие приливных сил, действующих между Землей и Луной. Со временем приливные силы непрерывно замедляли вращение Луны вокруг собственной оси, пока период этого вращения не стал равным периоду обращения Луны вокруг Земли. По той же причине вращение Земли вокруг собственной оси постоянно замедляется, а орбитальная скорость Луны уменьшается.
Считать, что орбита Луны остаётся круговой, а приливными силами Солнца можно пренебречь.
40★ Для подготовки к межзвёздному путешествию была предложена идея, как можно компенсировать отсутствие гравитации. Было предложено сделать космический корабль в форме длинного и тяжелого цилиндра диаметра $2R = 20~м$ и равномерно вращать его вокруг своей оси с таким периодом, чтобы на его поверхности космонавты ощущали земное ускорение свободного падения $g = 10~м/с^2$.
Во время путешествия космонавты тренируются в тренажёрном зале, высотой (с потолками высоты) $5~м$, «полом» которого является поверхность цилиндра. Во время тренировок космонавты замечают, что все не совсем так, как на Земле.
