7^★ Математический маятник отпустили с нулевой начальной скоростью из горизонтального положения. По какой кривой будет двигаться конец его вектора ускорения?

A H

8 Математический маятник отпустили с нулевой начальной скоростью из горизонтального положения. Какую из дуг, $AP$ или $PB$, обозначенных на рисунке, он пройдёт быстрее?

A H

23^★★ Конец нити математического маятника, проходит через маленькое отверстие в потолке. Этот конец начинают тянуть с очень маленькой скоростью (см. рисунок).

Меняется ли горизонтальная амплитуда колебаний (максимальное отклонение по горизонтали) маятника? Если да, то как?

A H

25 Небольшой ластик помещён и удерживается на краю поверхности, имеющей форму четверти окружности радиуса $R$ (см. рисунок). В какой-то момент его отпускают. Коэффициент трения между ластиком и поверхностью равен $\mu = 0.6$.

Достигнет ли ластик нижней точки поверхности?

A H

26 Коробка массы $1~кг$ помещена на наклонную плоскость таким образом, что она не соскальзывает с неё. В какой-то момент её начинают очень медленно тянуть вверх, а затем вниз по наклонной плоскости, направляя при это силу все время параллельно поверхности (см. рисунок). Оказалось, что суммарная совершённая работа равна $10~Дж$.

Чему равна максимально возможная в данном процессе высота $h$ наклонной плоскости? Считать, что коэффициенты трения скольжения и покоя равны.

A H

36^★★ Необходимо запустить с Земли космический зонд, который сможет покинуть Солнечную Систему с помощью гравитационного манёвра, использующего относительное движения и гравитацию одной из планет на орбите солнца. На каком расстоянии должна находится “хорошая” планета, чтобы для совершения гравитационного манёвра требовалась минимально возможная начальная скорость зонда относительно земли? Ответ выразите в астрономических единицах (напоминаем, что среднее расстояние от Солнца до Земли равно $1~а.е.$).

Решая задачу разумно сделать следующие приближения:
1. Орбитами всех планет являются окружности, лежащие в одной плоскости
2. Около планеты достаточно учитывать лишь гравитацию, создаваемую этой планетой.
3. Вдалеке от планет учитывается только гравитация Солнца.

Существует ли реальная планета, удовлетворяющая этой орбите?

A H

38^★★ Хорошо известно, что Луна всегда более или менее обращена к Земле одной и той же стороной. Данный факт - не совпадение, а прямое следствие приливных сил, действующих между Землей и Луной. Со временем приливные силы непрерывно замедляли вращение Луны вокруг собственной оси, пока период этого вращения не стал равным периоду обращения Луны вокруг Земли. По той же причине вращение Земли вокруг собственной оси постоянно замедляется, а орбитальная скорость Луны уменьшается.

a Оцените отношение скоростей уменьшения кинетических энергий Земли и Луны.

A H

b Во время космической программы Аполлон (полёты 11, 14 и 15) на Луне были установлены световозвращатели. Согласно чрезвычайно точным измерениям, которые стали возможными благодаря этому, расстояние между Землёй и Луной в настоящее время увеличивается со скоростью 3,8 см в год. Используя эти данные, оцените изменение продолжительности земного дня в течение года.

A

c Если бы система Земля–Луна продолжала свое движение без помех, то в результате тормозного действия приливных сил через достаточно длительное время Земля всегда была бы обращена к Луне одной и той же стороной, т.е. вращения и орбитальные движения этих двух тел были бы синхронизированы. Во сколько раз больше, чем в настоящее время, были бы земные сутки и расстояние Земля–Луна при такой идеальной синхронности?

A

Считать, что орбита Луны остаётся круговой, а приливными силами Солнца можно пренебречь.

41 Расстояние между верхней и нижней частью движущегося вниз эскалатора равно $h = 20~м$. Озорной мальчик массы $m = 50~кг$ решил побежать вверх по эскалатору со (средней) скоростью, относительно ступенек, равной половине его абсолютной скорости.

Найти работу, совершенную мальчиком и объяснить, каким образом она формируется.

A H

48^★ Четыре одинаковых однородных стержня соединены с помощью четырех легких шарниров и образуют квадрат, который положили на гладкую горизонтальную поверхность. Вершину $P$ начинают толкать в направлении по диагонали квадрата (см. рисунок) с ускорением $a_P$.

В каком направлении и с каким ускорением начнет двигаться противоположная вершина квадрата $Q$?

A H

64^★ Дизайнер интерьера спроектировал два варианта вешалки для шляпы. В обоих случаях тонкий, но прочный эластичный металлический стержень в форме четверти круга прикреплен к прочному вертикальному столбу. Различные варианты прикрепления стержня к столбу показаны на рисунке.

Дизайнер с удивлением обнаруживает, что, когда колышки для шляп нагружены одинаковым весом (как показано на рисунке), концы колышков не опускаются на одинаковую величину в двух конструкциях.

Найдите простой аргумент, который определяет, в какой конструкции отклонение кончика колышка больше.

A H

65^★ Если на горизонтально закрепленный с одного конца стержень длины $1~м$ повесить с другого конца груз массы $1~кг$, то этот конец прогнется на $1~см$. $\textit{Оцените}$, какую силу $F$ необходимо прикладывать к вертикально стоящему стержню (см. рисунок), чтобы он прогнулся.

A H

69 Придумайте механическую систему, использующую фундаментальные физические принципы для нахождения в произвольном треугольнике точку $P$, обладающую свойством, что сумма расстояний от этой точки до вершин треугольника минимальна. Можно ли эту систему использовать для минимизации $\textit{взвешенной}$ суммы расстояний (т.е. для нахождения такой точки $O$, что, имея $N$ точек $P_i$, каждая со своим весом $m_i$, сумма $\sum_{i = 1}^{N}m_iOP_i$ была минимальной)?

A H

71 Из листа бумаги в форме сектора окружности сделали конус высоты $h$ с радиусом оснований $r$. Лист имеет такой размер и форму, что два его прямых края почти соприкасаются на наклонной поверхности конуса. В этом положении в конусе отсутствуют какие-либо напряжения.

Конус помещают на горизонтальную, скользкую поверхность стола и прикладывают к его вершине вертикальную силу величины $w$; прогибания при этом не возникает. Чтобы под действием силы конус не развалился, к его прямым краям прикладывают пару сил величины $F$, направленных тангенциально окружности в основании конуса (см. рисунок).

Игнорируя любые эффекты трения или изгиба в бумаге, найдите значение $F$.

A H

80^★ Гибкий ковёр массы $M$ и длины $L$ в начальный момент плотно свёрнут в цилиндр радиуса $R \ll L$, как показано ни рисунке. Если свёрнутый ковер отпустить, то при отсутствии трения качения он начнёт раскручиваться в свою полную длину.

a Объясните с точки зрения задействованных сил, почему это происходит.

A H

b Какой должна быть горизонтальная сила $F$, приложенная как показано на рисунке, чтобы ковёр не раскручивался.

A

84^★ Закрытый сосуд цилиндрической формы равномерно вращается вокруг своей главной оси симметрии, лежащей горизонтально, с частотой $0.5$ оборота в секунду. Внутренний диаметр цилиндра и его длина равны $1~м$, его внутренняя поверхность шероховатая и содержит $100~кг$ песка.

Оцените, на сколько повысится температура песка за $10$ минут вращения. Сделайте реалистичные оценки необходимых данных, а также пренебрегите потерями тепла через стенки сосуда.

A H