35★★ Две кометы с одинаковыми массами и скоростями летят к солнцу по параболическим траекториям, лежащим в одной плоскости. Кометы сталкиваются в точке общего перигелия $P$ (ближайшей к солнцу точке траектории) и распадаются на огромное количество осколков, разлетевшихся во всех направлениях с одинаковыми скоростям.
36★★ Необходимо запустить с Земли космический зонд, который сможет покинуть Солнечную Систему с помощью гравитационного манёвра, использующего относительное движения и гравитацию одной из планет на орбите солнца. На каком расстоянии должна находится “хорошая” планета, чтобы для совершения гравитационного манёвра требовалась минимально возможная начальная скорость зонда относительно земли? Ответ выразите в астрономических единицах (напоминаем, что среднее расстояние от Солнца до Земли равно $1~а.е.$).
Решая задачу разумно сделать следующие приближения:
1. Орбитами всех планет являются окружности, лежащие в одной плоскости
2. Около планеты достаточно учитывать лишь гравитацию, создаваемую этой планетой.
3. Вдалеке от планет учитывается только гравитация Солнца.
42★ На столе для игры в аэрохоккей лежат $N$ одинаковых маленьких шайб, равномерно разложенных в полуокружность (см. рисунок); суммарная масса шайб равна $M$. Другая маленькая шайба, disc $D$, массы $m$, скользит в направлении, перпендикулярном диаметру этой полуокружности и сталкивается с первой из неподвижных шайб. Каким-то чудом случилось так, что в дальнейшем она по порядку столкнулась со всеми остальными $N-1$ шайбами, после чего продолжила движение в направлении, противоположном начальному. Все соударения абсолютно упругие, трением везде можно пренебречь.
43 Два одинаковым шарика подвешены на вертикальных нитях длины $l$ так, что они почти касаются друг друга, как показано на рисунке и могут раскачиваться в плоскости, образованной точками их центров и точками их подвеса. Один из шариков отклонили в этой плоскости на расстояние $d \ll l$ и отпустили. Соударение между шарами неупругое и такое, что в системе отсчёта их центра масса их скорости изменяются в $k$ раз, где $0 < k < 1$.
44★★ Два маленьких шара надеты на гладкий горизонтальный стержень, торчащий из в вертикальной стене. В начальный момент времени легкий шарик массы $m$ находится в состоянии покоя на расстоянии $L$ от стены, а большой шар, масса которого $M$ много больше $m$, скользит в сторону стены с расстояния, большего чем $L$. После упругого соударения, шар $m$ скользит в сторону стены, упруго отражается от неё и затем опять соударяется с тяжёлым шаром. Процесс повторяется снова и снова.
Считать шары точечными и, где это необходимо, что $m \ll M$.
45★ Очень густой туман состоит из большого числа капелек, двигающихся с пренебрежимо малой скоростью. Если одна из капель начинает падать, то она будет поглощать все маленькие капли на своём пути (см. рисунок). Оказалось, что эта растущая капля (которую можно считать сферической) падает с постоянным ускорением даже несмотря на наличие силы сопротивления воздуха, пропорциональной площади капли, а также квадрату её скорости.
52 Два одинаковых бильярдных шара диаметра $5~см$ движутся друг на друга без проскальзывания со скоростью $3~м/с$ по прямому U-образному жёлобу, который достаточно глубок, чтобы шары не касались его дна (см. рисунок). Столкновение между шарами абсолютно упругое, причём такое, что скорости шаров меняются на противоположные, а угловые скорости остаются прежними.
