38^★★ Хорошо известно, что Луна всегда более или менее обращена к Земле одной и той же стороной. Данный факт - не совпадение, а прямое следствие приливных сил, действующих между Землей и Луной. Со временем приливные силы непрерывно замедляли вращение Луны вокруг собственной оси, пока период этого вращения не стал равным периоду обращения Луны вокруг Земли. По той же причине вращение Земли вокруг собственной оси постоянно замедляется, а орбитальная скорость Луны уменьшается.

a Оцените отношение скоростей уменьшения кинетических энергий Земли и Луны.

A H

b Во время космической программы Аполлон (полёты 11, 14 и 15) на Луне были установлены световозвращатели. Согласно чрезвычайно точным измерениям, которые стали возможными благодаря этому, расстояние между Землёй и Луной в настоящее время увеличивается со скоростью 3,8 см в год. Используя эти данные, оцените изменение продолжительности земного дня в течение года.

A

c Если бы система Земля–Луна продолжала свое движение без помех, то в результате тормозного действия приливных сил через достаточно длительное время Земля всегда была бы обращена к Луне одной и той же стороной, т.е. вращения и орбитальные движения этих двух тел были бы синхронизированы. Во сколько раз больше, чем в настоящее время, были бы земные сутки и расстояние Земля–Луна при такой идеальной синхронности?

A

Считать, что орбита Луны остаётся круговой, а приливными силами Солнца можно пренебречь.

46 Деревянная индейская фигурка, которую можно с хорошей точностью считать сплошным однородным цилиндром, имеет высоту $H = 6~см$ и диаметр $d = 1~см$ (см. рисунок). К этой фигурке на высоте $h = 2~см$ от основания прикреплена нить, а сама фигурка помещена на шероховатый горизонтальный стол. Коэффициент трения между столом и фигуркой равен $\mu = 1/3$.

Участникам конкурса требуется тянуть за нить в горизонтальном направлении и сдвинуть фигурку на другой конец стола, не опрокинув её.

Возможно ли это совершить? Если да, то как? Если нет, то почему?

A H

47^★ На витрине магазина игрушек подвешен на двух резинка миниатюрный кораблик, причём так, что его палуба находится в горизонтальном положении. Массами мачты и паруса можно пренебречь по сравнению с массой корпуса, длина которого много больше его вертикальной высоты. Левую резинку перерезают.

Как будет вести себя точка $B$ в последующий момент времени, будет ли она подниматься или опускаться?

A H

48^★ Четыре одинаковых однородных стержня соединены с помощью четырех легких шарниров и образуют квадрат, который положили на гладкую горизонтальную поверхность. Вершину $P$ начинают толкать в направлении по диагонали квадрата (см. рисунок) с ускорением $a_P$.

В каком направлении и с каким ускорением начнет двигаться противоположная вершина квадрата $Q$?

A H

49 Цилиндрически симметричное (но необязательно однородное) тело подвешено на двух одинаковых нитях в точках вблизи его концов. Нити частично намотаны на цилиндр, а их свободные концы прикреплены к потолку; в начальный момент времени, нити вертикальны, а цилиндр горизонтален. Третья нить прикреплена и намотана на цилиндр посередине; к свободному концу этой нити прикрепили тяжелый груз (см. рисунок).

Если отпустить систему из состояния покоя, чему будет равно ускорение тяжелого груза?

A H

50^★★ Однородный плоский диск (хоккейная шайба) одновременно скользит и вращается на ледяной поверхности. Из-за трения оба вида движения испытывают замедление и в какой-то момент останавливаются.

Что закончится раньше, поступательное или вращательное движение?

A H

Считать, что сила реакции поверхности равномерно распределена по всей поверхности диска, что сила трения между двумя поверхностями не зависит от их относительной скорости и что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

51^★ Однородный стержень длины $L$ и массы $m$ имеет на своих концах ролики, которые могут свободно вращаться вокруг оси, которой для них служит сам стержень. Ролики одинаковые и имеют пренебрежимо малую массу по сравнению с массой стержня.

a Как будет двигаться стержень, если его поместить на горизонтальную шероховатую поверхность (с коэффициентом трения, достаточным для того, чтобы ролики двигались без проскальзывания) и сообщить концам стержня параллельные скорости $v_1$ и $v_2$ в направлении, перпендикулярном стержню.

A H

b Как стержень будет двигаться, если его поместить в горизонтальном положении с нулевой начальной скоростью центра масс и ненулевой начальной угловой скоростью $\omega_0$ на наклонную шероховатую поверхность, образующую угол $\theta$ с горизонтом (см. рисунок)?

A

52 Два одинаковых бильярдных шара диаметра $5~см$ движутся друг на друга без проскальзывания со скоростью $3~м/с$ по прямому U-образному жёлобу, который достаточно глубок, чтобы шары не касались его дна (см. рисунок). Столкновение между шарами абсолютно упругое, причём такое, что скорости шаров меняются на противоположные, а угловые скорости остаются прежними.

a Какую ширину должен иметь жёлоб, чтобы шары столкнулись дважды?

A H

b Найти скорости шаров за мгновение перед вторым соударением, если ширина жёлоба равна $4~см$.

A

53^★ Бильярдный шар, изначально покоившийся на бильярдном столе, ударяют кием в точке $T$ как показано на рисунке. Кий (т.е. направление ударной силы) лежит в вертикальной плоскости, образованной точками $T$, центром шара $C$ и точкой соприкосновения шара со столом $P$.

a Как во время удара должен быть направлен кий, чтобы после удара поступательное и вращательное движения шара закончились в один и тот же момент и шар остановился?

A H

b Как во время удара должен быть направлен кий, чтобы после удара шар двигался без проскальзывания, независимо от значения коэффициента трения между ним и столом?

A

Считать, что коэффициент трения между шаром и кием достаточно большой, чтобы во время удара между ними не было проскальзывания.

54^★★ Если в прошлой задаче сообщаемый ударной силой импульс не лежит в вертикальной плоскости, образованной точками $T$, $C$ и $P$, то сразу после удара вектор угловой скорости шара не будет перпендикулярен вектору скорости центра масс.

Такой удар изображен на рисунке, линия удара пересекает поверхность шара (во второй раз) в точке $T’$ и бильярдный стол в точке $A$.

a По какой траектории будет двигаться центр масс шара с момента начала движения до момента, когда закончится проскальзывание?

A H

b В каком направлении относительно прямой $PA$ шар будет двигаться, когда закончится проскальзывание?

A H

Считать, что какая бы большая вертикальная сила не действовала на шар, поверхность стола прогибаться не будет и область контакта шара со столом всегда будет точкой.

55^★★ Очень большой горизонтальный диск с шероховатой поверхностью вращается вокруг своей вертикальной оси симметрии с угловой скоростью $\Omega$. На диск помещают сплошной шар радиуса $R$ причём так, что он его центр начинает двигаться без проскальзывания по окружности радиуса $r_0$ с центром в центре диска.

a Чему должны быть равны начальные скорость центра масс и угловая скорость шара, чтобы он начал двигаться, как описано в условии?

A H

b Как будет двигаться шар, если его расположить так же, как и в предыдущем вопросе , но изменить направлении скорости центра масс на противоположное?

A

56^★ Диск с шероховатой поверхностью расположен на наклонной плоскости, составляющей угол $\theta$ с горизонтом, и вращается с угловой скоростью $\Omega$ вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости. На диск кладут шар радиуса $R$ и массы $m$ и сообщают ему скорость такую, что он начинает двигаться по прямой. Считать, что на протяжении всего процесса движения, шар движется без проскальзывания, о угловая скорость диска поддерживается постоянной.

Какую скорость сообщили шару?

A H

57^★★ Небольшой шар радиуса $r$ пускают по внутренней поверхности цилиндра радиуса $R$, чья ось симметрии расположена вертикально. Если шару сообщить достаточно большую горизонтальную скорость $v_0$, то он начнёт совершать вертикальные колебания, сохраняя контакт с цилиндром.

Опишите такое поведение шара.

A H

Коэффициент трения между шаром и внутренней поверхностью цилиндра достаточно большой, чтобы шар не проскальзывал по ней. Считать, что шар достаточно несжимаем, чтобы на протяжении всего движения он контактировал с цилиндром только в одной точке.