38★★ Хорошо известно, что Луна всегда более или менее обращена к Земле одной и той же стороной. Данный факт - не совпадение, а прямое следствие приливных сил, действующих между Землей и Луной. Со временем приливные силы непрерывно замедляли вращение Луны вокруг собственной оси, пока период этого вращения не стал равным периоду обращения Луны вокруг Земли. По той же причине вращение Земли вокруг собственной оси постоянно замедляется, а орбитальная скорость Луны уменьшается.
Считать, что орбита Луны остаётся круговой, а приливными силами Солнца можно пренебречь.
46 Деревянная индейская фигурка, которую можно с хорошей точностью считать сплошным однородным цилиндром, имеет высоту $H = 6~см$ и диаметр $d = 1~см$ (см. рисунок). К этой фигурке на высоте $h = 2~см$ от основания прикреплена нить, а сама фигурка помещена на шероховатый горизонтальный стол. Коэффициент трения между столом и фигуркой равен $\mu = 1/3$.
Участникам конкурса требуется тянуть за нить в горизонтальном направлении и сдвинуть фигурку на другой конец стола, не опрокинув её.
47★ На витрине магазина игрушек подвешен на двух резинка миниатюрный кораблик, причём так, что его палуба находится в горизонтальном положении. Массами мачты и паруса можно пренебречь по сравнению с массой корпуса, длина которого много больше его вертикальной высоты. Левую резинку перерезают.
49 Цилиндрически симметричное (но необязательно однородное) тело подвешено на двух одинаковых нитях в точках вблизи его концов. Нити частично намотаны на цилиндр, а их свободные концы прикреплены к потолку; в начальный момент времени, нити вертикальны, а цилиндр горизонтален. Третья нить прикреплена и намотана на цилиндр посередине; к свободному концу этой нити прикрепили тяжелый груз (см. рисунок).
50★★ Однородный плоский диск (хоккейная шайба) одновременно скользит и вращается на ледяной поверхности. Из-за трения оба вида движения испытывают замедление и в какой-то момент останавливаются.
Считать, что сила реакции поверхности равномерно распределена по всей поверхности диска, что сила трения между двумя поверхностями не зависит от их относительной скорости и что сопротивлением воздуха можно пренебречь.
51★
52 Два одинаковых бильярдных шара диаметра $5~см$ движутся друг на друга без проскальзывания со скоростью $3~м/с$ по прямому U-образному жёлобу, который достаточно глубок, чтобы шары не касались его дна (см. рисунок). Столкновение между шарами абсолютно упругое, причём такое, что скорости шаров меняются на противоположные, а угловые скорости остаются прежними.
53★ Бильярдный шар, изначально покоившийся на бильярдном столе, ударяют кием в точке $T$ как показано на рисунке. Кий (т.е. направление ударной силы) лежит в вертикальной плоскости, образованной точками $T$, центром шара $C$ и точкой соприкосновения шара со столом $P$.
Считать, что коэффициент трения между шаром и кием достаточно большой, чтобы во время удара между ними не было проскальзывания.
54★★ Если в прошлой задаче сообщаемый ударной силой импульс не лежит в вертикальной плоскости, образованной точками $T$, $C$ и $P$, то сразу после удара вектор угловой скорости шара не будет перпендикулярен вектору скорости центра масс.
Такой удар изображен на рисунке, линия удара пересекает поверхность шара (во второй раз) в точке $T’$ и бильярдный стол в точке $A$.
Считать, что какая бы большая вертикальная сила не действовала на шар, поверхность стола прогибаться не будет и область контакта шара со столом всегда будет точкой.
55★★ Очень большой горизонтальный диск с шероховатой поверхностью вращается вокруг своей вертикальной оси симметрии с угловой скоростью $\Omega$. На диск помещают сплошной шар радиуса $R$ причём так, что он его центр начинает двигаться без проскальзывания по окружности радиуса $r_0$ с центром в центре диска.
56★ Диск с шероховатой поверхностью расположен на наклонной плоскости, составляющей угол $\theta$ с горизонтом, и вращается с угловой скоростью $\Omega$ вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости. На диск кладут шар радиуса $R$ и массы $m$ и сообщают ему скорость такую, что он начинает двигаться по прямой. Считать, что на протяжении всего процесса движения, шар движется без проскальзывания, о угловая скорость диска поддерживается постоянной.
57★★ Небольшой шар радиуса $r$ пускают по внутренней поверхности цилиндра радиуса $R$, чья ось симметрии расположена вертикально. Если шару сообщить достаточно большую горизонтальную скорость $v_0$, то он начнёт совершать вертикальные колебания, сохраняя контакт с цилиндром.
Коэффициент трения между шаром и внутренней поверхностью цилиндра достаточно большой, чтобы шар не проскальзывал по ней. Считать, что шар достаточно несжимаем, чтобы на протяжении всего движения он контактировал с цилиндром только в одной точке.
