24^★ Скалолаз (в прошлом цирковой артист) хочет провести ночь, провисев на горе в положении, как показано на рисунке. Для этого он закрепил себя к поверхности скалы с помощью четырёх необычных гибких пружин. Массы и начальные длины этих пружин пренебрежимо малы, а их коэффициенты жёсткости равны $k_1 = 150~Н/м$, $k_2 = 250~Н/м$, $k_3 = 300~Н/м$, $k_4 = 400~Н/м$. Для простоты, скалолаз можно считать точечным с массой $m = 70~кг$.

Чему равен период колебаний скалолаз при смещении из положения равновесия?

A H

58 Пружина «Слинки» представляет из себя спиралевидную пружину с пренебрежимо малой длиной в нерастянутом состоянии. «Слинки» с хорошей точностью подчиняется закону Гука.
В первом случае пружину подвешивают вертикально за один из её концов. Во втором же случае «Слинки» подвешивают за её оба конца в точках на одной высоте, находящихся на таком расстоянии друг от друга, что концы пружины составляют угол $45^{\circ}$ с вертикалью, как показано на рисунке.

В каком случае длина растянутой пружины больше?

A H

59^★ Какую форму имеет пружина Слинки, подвешенная концами в точках, находящихся на одной высоте на некотором расстоянии друг от друга по горизонтали?

A H

60^★ Пружина Слинки массы $m$ в начальный момент покоится на поверхности стола. Верхний конец пружины начинают медленно поднимать, пока её нижний конец не оторвется от стола. В этот момент длина Слинки равна $L$.

a Какая работа была совершена во время подъема верхнего конца пружины?

A H

b Если верхний конец Слинки отпустить (из состояния покоя), то, к удивлению, нижний конец будет неподвижен пока пружина не схлопнется полностью (см. рисунок). Какую скорость будет иметь Слинки сразу после схлопывания?

A H

c Сколько времени пружина будет падать на стол?

A

61^★★ Слинки поместили в горизонтальную трубу, закрепив один из концов пружины к неподвижной точке трубы. Эта неподвижная точка находится на расстоянии $r_0$ от вертикальной оси, вокруг которой труба совершает вращение с постоянной угловой скоростью $\omega$ (см. рисунок). Пружину Слинки можно считать «идеальной»: она подчиняется закону Гука, её длина в нерастянутом состоянии пренебрежимо мала, её удлинение неограниченно.

Чему равна длина растянутой пружины $l$, если её полный коэффициент жёсткости равен $k$, а масса равна $m$?

Отдельно рассмотрите предельный случай, когда $r_0 \rightarrow 0$.

A H

62^★★ Какую форму примет пружина Слинки, находясь на Международной Космической Станции (т.е. в невесомости), при равномерном вращении обоих её концов вокруг одной оси на одинаковом расстоянии от неё (как скакалка).

A H

63^★ Дерево имеет легкую эластичную горизонтальную ветку, на которой ранней весной очень мало листьев, из-за чего она служит популярным насестом для диких птиц. В каком случае конец ветки прогнётся больше: если на её середину сядет голубь или если на её конец сядет чёрный дрозд, чья масса равна четверти массы голубя?

A H

64^★ Дизайнер интерьера спроектировал два варианта вешалки для шляпы. В обоих случаях тонкий, но прочный эластичный металлический стержень в форме четверти круга прикреплен к прочному вертикальному столбу. Различные варианты прикрепления стержня к столбу показаны на рисунке.

Дизайнер с удивлением обнаруживает, что, когда колышки для шляп нагружены одинаковым весом (как показано на рисунке), концы колышков не опускаются на одинаковую величину в двух конструкциях.

Найдите простой аргумент, который определяет, в какой конструкции отклонение кончика колышка больше.

A H

65^★ Если на горизонтально закрепленный с одного конца стержень длины $1~м$ повесить с другого конца груз массы $1~кг$, то этот конец прогнется на $1~см$. $\textit{Оцените}$, какую силу $F$ необходимо прикладывать к вертикально стоящему стержню (см. рисунок), чтобы он прогнулся.

A H

66 Канат заданной толщины и большой, но ограниченной прочности на растяжение, используется для измерения глубины моря. Однако, когда длина спущенного каната равна $1~км$ он обрывается в точке подвеса из-за собственного веса.

1 Сколько каната понадобится, чтобы достичь морского дна на глубине $3~км$, если канат можно сложить вдвое и расположить половины параллельно друг другу.

A H

2 Оцените общую длину исходного кабеля, необходимого для достижения дна Марианской впадины, которая находится на глубине $11~км$.

A

67^★★ a В быту очень известен факт, что если сосиска (длинная, прямая сосиска) «лопается» в процессе варки, то делает это всегда вдоль, а не поперёк. В чём причина этого?

A

b Если бы мы могли изготовить тороидальную сосиску, то где и как «лопнула» бы она во время варки? Считать, что в обоих случаях толщина кожуры сосиски постоянная.

A H