68^★ a Тонкий, прочный, но гибкий стальной канат установлен горизонтально над широкой улицей и сильно натянут. Акробат медленно движется по натянутому канату. Когда он достигает четверти пути (точка $Q$ на рисунке), ближайшая точка трисекции каната $T$ (точка, находящаяся на трети пути) сместилась на $5~см$ от своего изначального положения. На сколько будет смещена точка $Q$, когда акробат достигнет точки $T$?

b Можно ли обобщить полученный результат на произвольные точки $Q$ и $T$?

A H

Считать, что масса каната пренебрежимо мала, что его смещения всегда очень малы по сравнению с её длиной и что его натяжение можно считать постоянным.

69 Придумайте механическую систему, использующую фундаментальные физические принципы для нахождения в произвольном треугольнике точку $P$, обладающую свойством, что сумма расстояний от этой точки до вершин треугольника минимальна. Можно ли эту систему использовать для минимизации $\textit{взвешенной}$ суммы расстояний (т.е. для нахождения такой точки $O$, что, имея $N$ точек $P_i$, каждая со своим весом $m_i$, сумма $\sum_{i = 1}^{N}m_iOP_i$ была минимальной)?

A H

70 Мешок с песком массы $M$ лежит на ковре, который, в свою очередь, лежит на шероховатой горизонтальной поверхности. Распределение массы в мешке неоднородно, но известно, что его центр масс (CM) лежит на расстояниях $s_1$ и $s_2$ от его концов.

Ковёр начинают тянуть и они с мешком начинают перемещаться на другую прилегающую шероховатую поверхность, находящуюся на той же высоте (см. рисунок).

Какая работа будет совершена к моменту, когда мешок полностью переместится на другую поверхность, если коэффициенты трения между ковром и исходной и конечной поверхностями равны соответственно $\mu_1$ и $\mu_2$?

A H

71 Из листа бумаги в форме сектора окружности сделали конус высоты $h$ с радиусом оснований $r$. Лист имеет такой размер и форму, что два его прямых края почти соприкасаются на наклонной поверхности конуса. В этом положении в конусе отсутствуют какие-либо напряжения.

Конус помещают на горизонтальную, скользкую поверхность стола и прикладывают к его вершине вертикальную силу величины $w$; прогибания при этом не возникает. Чтобы под действием силы конус не развалился, к его прямым краям прикладывают пару сил величины $F$, направленных тангенциально окружности в основании конуса (см. рисунок).

Игнорируя любые эффекты трения или изгиба в бумаге, найдите значение $F$.

A H

72 Фрэнк сделал железный треугольник, сварив вместе три тонких железных стержня одинакового сечения. Он решает отыскать центр масс получившегося треугольника, кладёт его на бумагу и начинает рисовать линии, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон. В этот момент подходит Лиза и говорит, центр масс этого треугольника не будет лежать в его геометрическом центре. Она утверждает, что Фрэнку нужно образовать новый треугольник, соединив середины всех сторон, а затем найти в этом треугольнике точку пересечения медиан, которая и будет являться центром масс исходного треугольника.

Кто из них прав?

A H

73 Из однородного куска картона вырезали треугольник и поставили его на одну из своих сторон на стол. Треугольник поддерживается с обеих сторон, поэтому может двигаться только в своей плоскости, но может делать это свободно.

Можно ли вырезать такой треугольник, который будет опрокидываться через две свои стороны, и будет иметь только одно положение равновесия?

A H

74^★★ Назовём грань тетраэдра «неустойчивой» если положив его на эту грань, он начнёт опрокидываться и «устойчивой» в противном случае. Можно ли сделать (однородный) тетраэдр, у которого будет три неустойчивых граней и одна устойчивая?

A H

76^★ В спортивном зале альпинистский канат и альпинистский шест, оба постоянного поперечного сечения, имеют одинаковые длины, а также равные массы. Каждый из них прикреплен к потолку спортзала с помощью небольшого шарнира, а каждому из их нижних концов сообщают одинаковые горизонтальные скорости.

Чей нижний конец поднимется на большую высоту, каната или шеста?

A H

78^★★ Однородный гибкий канат проходит через два небольших блока, установленных на одной высоте (см. рисунок). Длина каната равна $l$, высота прогиба равна $h$. Чему равна длина $s$ кусков каната, свисающих с обратных сторон в положении равновесия?

A H

79^★ Один конец ожерелья из мелких жемчужин прикреплен к внешней поверхности неподвижного цилиндра, имеющего радиус $R$ и горизонтальную ось; точка крепления $P$ находится на том же уровне, что и ось. Ожерелье обматывается один раз вокруг гладкой поверхности цилиндра, а свободный конец остается висеть (см. рисунок).

Какой длины $l$ должен быть этот свободный конец, чтобы вся остальная часть ожерелья касалась поверхности цилиндры везде?

A H

80^★ Гибкий ковёр массы $M$ и длины $L$ в начальный момент плотно свёрнут в цилиндр радиуса $R \ll L$, как показано ни рисунке. Если свёрнутый ковер отпустить, то при отсутствии трения качения он начнёт раскручиваться в свою полную длину.

a Объясните с точки зрения задействованных сил, почему это происходит.

A H

b Какой должна быть горизонтальная сила $F$, приложенная как показано на рисунке, чтобы ковёр не раскручивался.

A