79★ Один конец ожерелья из мелких жемчужин прикреплен к внешней поверхности неподвижного цилиндра, имеющего радиус $R$ и горизонтальную ось; точка крепления $P$ находится на том же уровне, что и ось. Ожерелье обматывается один раз вокруг гладкой поверхности цилиндра, а свободный конец остается висеть (см. рисунок).
81★★ Комитет клуба скалолазания по ледникам решил провести соревнование для членов клуба: необходимо забраться как можно выше по искусственно созданному прямому конусу, поверхность которого была превращена в очень гладкий, скользкий «айсберг», позволяя воде стекать по нему при минусовых температурах. Из всего снаряжения разрешено использовать только лассо.
Лассо для новичков, как показано на рисунке (a), состоит из отрезка верёвки, прикреплённого с помощью небольшого отверстия к замкнутой петле $\textit{фиксированной}$ длины. Опытные же скалолазы используют лассо как показано на рисунке (b), представляющее из себя единую верёвку с отверстием на одном конце, через которое продевается другой конец. Верёвки по сравнению с альпинистами очень лёгкие, трение между ними и льдом, а также трение в отверстии отсутствует.
83★★ Пожарный шланг массы $M$ и длины $L$ свёрнут в рулон радиуса. $R \ll L$. Центру рулона сообщают начальную горизонтальную скорость $v_0$ (и угловую скорость $v_0/R$), пока свободный конец шланга удерживают в фиксированной точке (см. рисунок ниже). Шланг разворачивается и становится прямым.
Петя и Полина (два ученика, изучающие физику) обсуждают, что происходит во время разворачивания. Они согласны с тем, что в некоторых отношениях упрощение анализа может быть оправдано: что, если начальная кинетическая энергия рулона намного больше его потенциальной энергии ($v_0\gg\sqrt{gR}$), то действием силы тяжести можно пренебречь; что шланг можно считать гибким; и что работой, необходимой для деформации шланга и преодоления как сопротивления воздуха, так и трения качения, можно пренебречь. Тем не менее, они считают, что важно исследовать вертикальное движение рулона в дополнение к более очевидному горизонтальному движению.
Скорость раскручивающегося рулона постоянно увеличивается, и его ускорение явно сонаправлено с его скоростью. С другой стороны, равнодействующая горизонтальных внешних сил, действующих на рулон (сила трения и удерживающая сила на неподвижном конце шланга), направлено в противоположном направлении. Этот странный факт можно объяснить тем, что суммарный момент движущегося рулона (а следовательно и всей системы) равен
\begin{equation}
p(x) = m(x)v(x) = M(1-(x/L))\frac{v_0}{\sqrt{1-(x/L)}} = Mv_0\sqrt{1-(x/L)},
\end{equation}
где $m(x) = M(1-(x/L))$ - масса куска рулона, находящегося в движении после того, как он прошёл расстояние $x$. Скорость $v(x)$ была определена с помощью закона сохранения энергии, пренебрегая гравитационными эффектами, и равна $v(x) = v_0/\sqrt{1-(x/L)}$.
Видно, что с увеличением $x$ импульс рулона $p(x)$ уменьшается, что отражает тот факт, что масса движущегося рулона уменьшается быстрее увеличивается его скорость. Таким образом, направление результирующей силы $F(x)$, действующей на систему, противоположно направлению движения, а её значение равно
\begin{equation}
F(x) = \frac{dp}{dt} = \frac{dp}{dx}\frac{dx}{dx} = \frac{dp(x)}{x}v(x) = -\frac{Mv_0^2}{L}\frac{1}{2(1-(x/L))}.
\end{equation}
Петя (пользуясь законами сохранения энергии и массы) определил не только как зависят от пройденного расстояния $x$ масса рулона $m(x)$, его радиус $r(x)$ и его угловая скорость $\omega(x)$, но и также как зависит его момент инерции $I(x)$. Он также нашёл горизонтальную и вертикальную компоненты скорости центра масс рулона $v_x$ и $v_y$ (см. рисунок ниже). Все эти величины являются функциями от $x$, а следовательно и от времени $t$.
Петя утверждает:
— Я нашёл $v_x$ и $v_y$, домножив их на мгновенное значение массы $m(x)$, я также нашёл компоненты импульса рулона $p_x$ и $p_y$, по скоростям изменения которых можно найти внешние силы $F$ и $N$.
Далее он решил посчитать момент импульса $J$ всей этой странной системы, а также скорость его изменения, и таким образом проверить, будут ли крутящие моменты, вызванные внешними силами, создавать именно такую скорость изменения, т.е. проверить, будет ли выполняться $\tau_{вн} = dJ/dt$. Поскольку и центр рулона, и центр масс всей системы ускоряются, он выразил формулы для момента импульса и крутящих моментов не относительно этих точек, а относительно неподвижной точки P, неподвижного конца шланга.
К своему великому удивлению, он обнаружил, что, хотя суммарный крутящий момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы не остается постоянным, а $\textit{меняется со временем}$! После того, как он в сотый раз перепроверил свои расчеты, он был близок к тому, чтобы заявить:
— В этой системе не выполняется основной закон динамики вращательного движения.
Полина, однако, думала иначе! Она утверждала, что в методе, который использовал Питер, была ошибка, поскольку он применил хорошо известную стандартную формулу к ситуации, к которой она неприменима.
