15 Если бы все линейные размеры Солнечной системы были пропорционально сокращены так, чтобы среднее расстояние между Солнцем и Землей стало $1~ м$, то какова была бы продолжительность одного года?

A H

Считайте, что плотность небесных тел при этом не меняется.

16 Если бы масса каждого компонента двойной звезды была равна массе Солнца и расстояние между ними было равно расстоянию от Земли до Солнца, то каким был бы их период обращения?

A H

17 a Какой должна быть минимальная скорость запуска ракеты, чтобы вывести спутник на круговую орбиту?

A H

b Во сколько раз больше энергии требуется для запуска спутника на полярную орбиту по сравнению с выводом его на экваториальную орбиту?

A

c Какую начальную скорость должен иметь космический зонд, чтобы покинуть гравитационное поле Земли?

A

d Для чего требуется большая начальная энергия космического зонда - чтобы покинуть Солнечную систему или достичь Солнца?

A

18 Ракета должна покинуть гравитационное поле Земли. Количество топлива в ее главном двигателе немного меньше, чем это необходимо. Но можно воспользоваться еще и вспомогательным двигателем, правда лишь на короткое время.

Когда лучше всего включить вспомогательный двигатель: во время взлета или когда ракета практически остановится относительно Земли? Или это не имеет значения?

A H

32^★ Каким бы был мировой рекорд по прыжкам в высоту среди мужчин (на соревнованиях в закрытом помещении) на Луне?

A H

81^★★ Представим себе, что кто-то наткнулся на свободную неподвижную веревку, тянущуюся вертикально в небо и свисающую вниз почти до земли.

a Должен ли этот человек рассматривать такое событие как доказательство существования НЛО или этому можно дать «земное» объяснение в соответствии с известными законами физики?

A H

b Какой может быть длина такой веревки?

A

87 В начальный момент времени материальные точки массой $m$ находятся в покое в углах правильного $n$-угольника. На рисунке показана ситуация для $n = 6$.

a Каким образом будут двигаться точки, если между ними действуют только силы тяготения?

A H

b Через какое время они столкнутся, если $n = 2$, $3$ и $10$?

A

Исследуйте случай, когда $n \gg 1$ и $m=M/n$, где $M$ — суммарная масса всех материальных точек.

88 Ракета возвращается к планете таким образом, что ее вектор скорости параллелен вектору скорости при запуске. Угол между радиусами, проведёнными из центра планеты к пунктам запуска и прибытия, равен $\theta$. Считайте планету сферической радиусом $R$.

a Как долго продолжался полет ракеты, если период обращения спутника, летящего вокруг планеты прямо над ее поверхностью, равен $T$?

A H

b Чему равно максимальное удаление ракеты от поверхности планеты?

A

Применим ли ваш анализ к крайнему случаю, когда $\theta \to 0$.

109 Где ускорение свободного падения больше: на поверхности Земли или на глубине $100~ км$?

A H

Считайте Землю сферически симметричной. Средняя плотность Земли $\rho_З = 5500~ кг/м^3$ , плотность земной коры $\rho_к = 3000~ кг/м^3$ . (Можно считать, что толщина коры по крайней мере не меньше $100 ~км$.)

110^★ Институт исследования космических аварий послал следующее короткое сообщение одному из своих экспертов: Космический корабль маленьких зеленых человечков, питающихся титаном, нашел сферический астероид. Узкая испытательная шахта была просверлена от точки на его поверхности к центру $O$ астероида (см. рис, слева). Подтвердилось, что весь астероид сделан из однородного титана. В этот момент произошла трагедия - один из маленьких зеленых человечков упал в испытательную шахту. Он падал без препятствий, пока не достиг точки $O$, где погиб от столкновения с дном шахты. Однако маленькие зеленые человечки продолжили работу и начали секретные раскопки титана, в ходе которых они сформировали сферическую пещеру диаметром $AO$ внутри астероида, как показано на рисунке справа. Но тут произошла вторая трагедия - другой маленький зеленый человечек упал в точке $A$ и летел до точки $O$, где и погиб.  Институт попросил эксперта вычислить отношение скоростей в точке $O$ и отношение времен, затрачиваемых на падение от $A$ до $O$ двумя несчастными маленькими человечками.

Какие цифры привел эксперт в своем ответе?

A H

111^★ Институт исследования космических аварий послал следующее короткое сообщение одному из своих экспертов: Космический корабль маленьких зеленых человечков, питающихся титаном, нашел сферический астероид. Узкая испытательная шахта была просверлена от точки на его поверхности к центру $O$ астероида (см. рис 1). Подтвердилось, что весь астероид сделан из однородного титана. В этот момент произошла трагедия - один из маленьких зеленых человечков упал в испытательную шахту. Он падал без препятствий, пока не достиг точки $O$, где погиб от столкновения с дном шахты.

Однако маленькие зеленые человечки продолжили свои раскопки. В результате их разрушительного действия на окружающую среду половина астероида была скоро раскопана, и, как показано на рисунке 2, осталось только одно правильное полушарие. Выкопанный материал был унесен с астероида.

Каково ускорение $g$ свободного падения в центре плоской поверхности оставшегося полушария, если ускорение свободного падения на поверхности исходного (шарообразного) астероида было равно $g_0=9.81~см/с^2$?

A H

112^★ Маленькие зеленые человечки, питающиеся титаном, нашли другой астероид из титана — радиусом $10~ км$ и с однородным распределением массы. Они начали выкапывать и передавать материал астероида к поверхности. Раскопки металла производились с помощью высверленных шахт в виде полос шириной $1~ м$ по всему экватору астероида, пока они не разрезали астероид полностью на две части. Тогда случилась авария: опоры, отделяющие эти два полушария, сломались, и астероид разрушился.

Эксперты от Института исследования космических аварий должны вычислить полную силу, действующую на опоры непосредственно перед тем как они разрушились. Пожалуйста, помогите им.

A H

116 В древние времена люди думали, что Земля плоская. Вообразите, что Земля действительно не шар радиусом $R$, а бесконечная пластина толщиной $H$.

При каком значении $H$ ускорение свободного падения в этой модели не будет отличаться от ускорения свободного падения на поверхности сферической Земли?

A H

Считайте, что плотность земных пород не зависит от глубины залегания и в обеих моделях одинакова.

134^★ Какой высоты могла бы быть самая высокая гора на Земле? А на Марсе?

A H