39^★ Прямая однородная тонкая соломинка покоится на гладкой доске. На каждом ее конце сидит по блохе.

Покажите, что если масса $M$ соломинки не слишком большая по сравнению с массой $m$ каждой из блох, то они могут одновременными прыжками с одинаковыми скоростью и углом взлета перепрыгнуть с одного конца соломинки на другой без столкновения друг с другом в воздухе.

A H

42^★★ Однородный стержень массой $m$ и длиной $L$ находится в горизонтальном положении, опираясь концами на два моих указательных пальца. Пока я медленно сдвигаю пальцы, чтобы они встретились под центром стержня, он скользит либо по одному, либо по другому пальцу.

Какую работу я должен совершить в течение всего процесса, если даны коэффициенты трения покоя $\mu$ и трения скольжения $\mu_{ск}(\mu_{ск}\le\mu_{ск})$?

A H

58 Математический маятник и однородный стержень одной и той же длины отклоняют до горизонтальных положений и отпускают (см. рис).

Каково отношение их периодов колебаний?

A H

Найдите угол между стержнем и вертикалью в том момент, когда стержень отрывается от стола. Считая, что длина стержня намного больше его диаметра, исследуйте два крайних случая:

a Край стола гладкий (трение незначительно), но имеет маленькое, с единственным уступом углубление, как показано на рисунке а.

A H

b Край стола шероховатый (трение большое) и очень острый, что означает, что радиус кривизны края намного меньше толщины стержня. Половина лицевой поверхности выходит за край стола (рис. б), так что в итоге стержень вращается относительно края стола.

A

a Как движется при этом острие карандаша в зависимости от коэффициента трения?

A H

b Оторвется ли остриё карандаша от стола (в отличие от случая, когда в результате скольжения место заточки карандаша в конце концов соприкоснется со столом)?

A

94 Бильярдный шар катится без проскальзывания и ударяет точно такой же неподвижный шар. Считая удар центральным и абсолютно упругим, опишите движение шаров после столкновения.

Докажите, что конечные параметры движения не зависят от коэффициента трения скольжения между шарами и бильярдным столом.

H

Трение качения незначительно.

95^★ Наклонная плоскость, составляющая угол $\alpha$ с горизонтом, оснащена большим количеством одинаковых роликов, расположенных последовательно на расстоянии $d$ друг от друга (см. рис). Ролики имеют горизонтальные оси и представляют собой покрытые тонким слоем каучука стальные цилиндры массой $m$ и радиусом $r$. Доска массой $M$ и длиной $L\gg d$ пущена сверху по роликам без начальной скорости.

Найдите конечную скорость доски.

A H

Сопротивлением воздуха и трением в подшипниках пренебречь.

96 Стальной шар лежит на столе, покрытом скатертью (см. рис). Если скатерть выдернуть из-под шара, то трение заставит шар прийти в движение с вращением.

Какова будет скорость шара на столе, когда он будет катиться без проскальзывания?

A H

Считайте стол насколько большим, что шар с него не падает.

97^★ Если бы автомобильное движение в Великобритании стало правосторонним (вместо левостороннего), то увеличилась бы тогда продолжительность суток, уменьшилась или осталась неизменной?

A H

98 В физическом трюке два шара, маленький радиусом $r$ и большой радиусом $R=2r$, находясь на тележке, катятся без проскальзывания таким образом, что прямая линия, соединяющая центры шаров, долгое время составляет угол $\varphi=60^\circ$ с горизонтом, если на тележку действовать некоторой горизонтальной силой $F$ (см. рис).

a Найдите величину силы $F$.

A H

b Через какое время шары упадут с тележки?

A

Считать, что шары изготовлены из одного материала, длина тележки $L= 2~ м$, ее масса $M = 6~ кг$, масса меньшего шара $m=1~ кг$. Вначале шары находились посередине тележки.

99^★ В центре горизонтального стола вырезали диск радиусом $R$ у после чего его возвратили на прежнее место с возможностью свободного вращения вокруг вертикальной оси, как показано на рисунке (подобное устройство можно увидеть в Музее науки в Канберре, Австралия). Диск начинает вращаться, а твердый резиновый шар катится по столу в сторону диска по прямой. Когда шар попадает на вращающийся диск, траектория его становится криволинейной. Когда же он покидает диск, то продолжает катиться без проскальзывания по той же прямой линии, при этом конечная скорость шара та же самая, что была на подходе к диску.

Объясните, какие законы определяют такое движение.

A H