4 Длинный тонкий гибкий ковер лежит на полу. Один конец ковра загнули и с постоянной горизонтальной единичной скоростью потянули назад над той частью ковра, которая покоится (см. рис).

a Найдите скорость центра масс движущейся части ковра.

A H

b Какова минимальная сила, необходимая для того, чтобы тянуть движущуюся часть ковра, если ковер имеет единичную длину и единичную массу?

A

67 Один конец веревки закреплён на вертикальной стене, а к другому приложена горизонтальная сила $F = 20~ Н$. Форма гибкой веревки изображена на рисунке.

Найдите массу веревки.

A H

81^★★ Представим себе, что кто-то наткнулся на свободную неподвижную веревку, тянущуюся вертикально в небо и свисающую вниз почти до земли.

a Должен ли этот человек рассматривать такое событие как доказательство существования НЛО или этому можно дать «земное» объяснение в соответствии с известными законами физики?

A H

b Какой может быть длина такой веревки?

A

100 Тонкое кольцо радиусом $R$ сделано из материала с плотностью $\rho$ и модулем Юнга $E$.

На сколько изменится длина окружности кольца, если его закрутить вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца с угловой скоростью $\omega$?

A H

Изменения длины считать малыми.

101^★ Легкая неупругая веревка опоясывает по полуокружности неподвижный цилиндр, как показано на рисунке. Из-за трения веревка не скользит по цилиндру, когда величины сил, действующих на ее концах, удовлетворяют неравенству $F_A/2\le F_B\le 2F_A $.

Определите коэффициент трения между веревкой и цилиндром.

A H

102^★★ Чарли, студент-первокурсник университета, изучает интегральное исчисление. В качестве упражнения он должен определить положение центра масс $C$ полуокружности, которая имеет радиус $R$ и однородное распределение масс (см. рис). Его младшая сестра Дженни еще учится в средней школе и по физике изучает вращение твердых тел. Дженни наблюдает за вычислениями своего брата, но поскольку она никогда не слышала об интегральном исчислении, то многого не понимает из того, что он делает. Единственно, что она понимает, это физический смысл задачи. После размышлений и вычислений в течение некоторого времени, она говорит: «Я получила результат и могу определить положение центра масс не только полуокружности, но также любой части окружности или даже любого кругового сектора».

Как Дженни это сделала?

A H

Сколько времени пройдет, прежде чем второй конец цепочки окажется на полу?

A H

104^★ Гибкая однородная тяжелая цепь плотно огибает два горизонтальных цилиндра так, что ее форма напоминает беговую дорожку стадиона, т.е. она состоит из двух полуокружностей, соединенных двумя прямыми участками (см. рис). Цилиндры привели во вращение, и звенья цепи стали двигаться со скоростью $v$. По некоторым причинам цепь внезапно соскальзывает с цилиндров и падает вертикально.

a Как будет изменяться форма цепи во время падения?

A H

По словам Стива, цепь примет круговую форму из-за центробежной силы. Боб принимает эту точку зрения, но полагает, что первоначально «эллиптическая» цепь потеряет круговую форму под этим же воздействием и станет вертикальным эллипсом с новой большой осью, расположенной под прямым углом к первоначальной. Он ожидает, что этот процесс будет повторяться и что форма цепи между двумя эллипсами будет круговой. Фрэнк предполагает, что цепь сохранит первоначальную форму, но он не может дать никаких объяснений своему предположению.

b Кто прав? Или, возможно, они все неправы?

A

Чему равна скорость цепи в момент, когда она покидает шкив?

A H

106^★ Длинная тяжелая и гибкая веревка с массой $\rho$ на единицу длины натянута с постоянной силой $F$. Внезапное движение формирует круглую петлю на одном конце веревки (подобным способом образуются поперечные волны), и петля бежит по веревке со скоростью $c$, как показано на рисунке.

a Вычислите скорость $c$ петли.

A H

b Определите энергию, импульс и момент импульса петли, если угловая частота вращения равна $\omega$. Какова связь между этими величинами?

A

108^★★ Пожарный шланг массой $M$ и длиной $L$ смотан в рулон радиусом $R,R\ll L$ (см. рис). Рулону придали начальную скорость $v_0$ (угловая скорость $v_0/R$), в то время как свободный конец шланга удерживают неподвижно. Шланг разворачивается и становится прямым.

a Сколько времени потребуется, чтобы шланг полностью развернулся?

A H

b Скорость рулона непрерывно увеличивается, и его ускорение имеет то же направление, что и скорость. С другой стороны, вектор результирующей горизонтальных внешних сил (силы трения в сумме с ограничивающей силой на неподвижном конце шланга) указывает на противоположное направление. Как эти два факта совместимы со вторым законом Ньютона?

A

Чтобы упростить анализ, предположите, что начальная кинетическая энергия рулона намного больше, чем его потенциальная энергия (считайте, что $v_0\gg\sqrt{gR}$). Считайте, что шланг идеально гибкий и что работой, необходимой для его деформации, сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь.