81★★ Представим себе, что кто-то наткнулся на свободную неподвижную веревку, тянущуюся вертикально в небо и свисающую вниз почти до земли.
102★★ Чарли, студент-первокурсник университета, изучает интегральное исчисление. В качестве упражнения он должен определить положение центра масс $C$ полуокружности, которая имеет радиус $R$ и однородное распределение масс (см. рис). Его младшая сестра Дженни еще учится в средней школе и по физике изучает вращение твердых тел. Дженни наблюдает за вычислениями своего брата, но поскольку она никогда не слышала об интегральном исчислении, то многого не понимает из того, что он делает. Единственно, что она понимает, это физический смысл задачи. После размышлений и вычислений в течение некоторого времени, она говорит: «Я получила результат и могу определить положение центра масс не только полуокружности, но также любой части окружности или даже любого кругового сектора».
104★ Гибкая однородная тяжелая цепь плотно огибает два горизонтальных цилиндра так, что ее форма напоминает беговую дорожку стадиона, т.е. она состоит из двух полуокружностей, соединенных двумя прямыми участками (см. рис). Цилиндры привели во вращение, и звенья цепи стали двигаться со скоростью $v$. По некоторым причинам цепь внезапно соскальзывает с цилиндров и падает вертикально.
По словам Стива, цепь примет круговую форму из-за центробежной силы. Боб принимает эту точку зрения, но полагает, что первоначально «эллиптическая» цепь потеряет круговую форму под этим же воздействием и станет вертикальным эллипсом с новой большой осью, расположенной под прямым углом к первоначальной. Он ожидает, что этот процесс будет повторяться и что форма цепи между двумя эллипсами будет круговой. Фрэнк предполагает, что цепь сохранит первоначальную форму, но он не может дать никаких объяснений своему предположению.
108★★ Пожарный шланг массой $M$ и длиной $L$ смотан в рулон радиусом $R,R\ll L$ (см. рис). Рулону придали начальную скорость $v_0$ (угловая скорость $v_0/R$), в то время как свободный конец шланга удерживают неподвижно. Шланг разворачивается и становится прямым.
Чтобы упростить анализ, предположите, что начальная кинетическая энергия рулона намного больше, чем его потенциальная энергия (считайте, что $v_0\gg\sqrt{gR}$). Считайте, что шланг идеально гибкий и что работой, необходимой для его деформации, сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь.