166 Известно, что геомагнитное поле имеет дипольный характер. На северном полюсе индукция магнитного поля Земли равна $6\cdot 10^{-5}~Тл$. Индукция магнитного поля над Лондоном равна $5\cdot10^{-5}~Тл$, а угол склонения составляет $66^\circ$. Гигантский реактивный самолет с размахом крыла $80~ м$, длиной $60~ м$ и толщиной $8~ м$ летит горизонтально со скоростью $720~ км/ч$.
167 Два проводящих рельса образуют наклонную плоскость с углом наклона $\alpha$ к горизонту (см. рис). Перпендикулярно этой плоскости действует однородное постоянное магнитное поле с индукцией $B$. Проводящий стержень массой $m$ может скользить вниз по рельсам без трения, замыкая их и сохраняя свое горизонтальное положение.
168★ Пара проводящих рельсов, расстояние между которыми $l$, образуют горизонтальную плоскость (см. рис). По нормали к плоскости действует однородное постоянное магнитное поле с индукцией $B$. Поперек рельсов лежит проводящий стержень сопротивлением $R$ и массой $m$. Конденсатор емкостью $C$, заряженный до напряжения $U_0$, подключают к рельсам.
Трением скольжения, электрическим сопротивлением рельсов и индуктивностью системы пренебречь.
174★
Опишите электрические и магнитные поля в этой вращающейся (неинерциальной) системе отсчета. (Считайте, что угловая скорость вращения намного меньше циклотронной частоты $\omega_0=eB/m$, где $e$ и $m$ — заряд и масса электрона соответственно.)
175★
Джилл знает решение задачи 173 и просто использует его.
Пренебрегая массой электрона, она делает вывод, что плотность заряда равна $\rho=2\varepsilon_0 B\omega$. Решение Джека основано на том факте, что спица велосипеда — это тонкий металлический стержень. Он рассматривает одномерную задачу и считает, что наведенное в спице электрическое поле зависит от $r$ так: $E(r)=rB\omega$. Затем Джек применяет теорему Гаусса к сечению спицы длиной $\Delta r$ : $(\rho/\varepsilon_0)S\Delta r=S\Delta E=B\omega S\Delta r$, где $S$ — площадь поперечного сечения спицы. Из этого уравнения он получает для плотности заряда такое выражение: $\rho=\varepsilon_0B\omega$, что дает значение $\rho$ в два раза меньшее, чем получила Джилл.
Прокомментируйте эти отличающиеся результаты.
176 Металлическое кольцо диаметром $2r = 0.2~ м$ и маленькая магнитная стрелка могут свободно вращаться относительно вертикального диаметра кольца (см. рис). Стрелка находится в центре кольца. Если кольцо не вращается, то магнитная стрелка ориентируется по направлению горизонтальной составляющей магнитного поля Земли. Когда кольцо вращается со скоростью $10$ оборотов в секунду, то отклонение стрелки от этого положения составляет в среднем $2^\circ$.
177 Однородный тонкий провод длиной $2\pi a$ и сопротивлением $r$ соединен своими концами так, что образует кольцо. Маленький вольтметр $V$ сопротивлением $R$ подсоединен при помощи проводников с незначительным сопротивлением к двум точкам на проводе. Угловое расстояние между точками равно $\theta$, как показано на рисунке. Кольцо пронизывается по нормали однородным магнитным полем, индукция которого изменяется со скоростью $dB/dt$.
179 Два длинных коаксиальных соленоида с одинаковыми длинами и одинаковым числом витков подключены параллельно к одному источнику тока. Соленоиды изготовлены из одного и того же медного провода, но диаметр внешнего соленоида в два раза больше диаметра внутреннего. В вакуумном пространстве между соленоидами находится неподвижная заряженная частица. Если напряжение источника тока увеличивать с постоянной скоростью, частица будет двигаться по круговой траектории, как показано на рисунке.
182★ Тонкое сверхпроводящее кольцо удерживают симметрично над торцом вертикального цилиндрического магнитного стержня, как показано на рисунке. Цилиндрически симметричное магнитное поле в точке $(z, r)$ в области кольца можно охарактеризовать вертикальной $B_z$ и радиальной $B_r$ составляющими вектора магнитного поля: $B_z=B_0(1-\alpha z)$ и $B_r=B_0\beta r$, где $B_0$, $\alpha$ и $\beta$ - константы, $z$ и $r$ - вертикальная и радиальная координаты соответственно. Первоначально ток в кольце равен нулю. Когда кольцо отпустили, оно начинает двигаться вниз вдоль вертикальной оси.
Для расчетов примите следующие данные: масса кольца $m= 50~ мг$, его радиус $r_0 = 0.5~см$, индуктивность $L = 1.3 \cdot 10^{-8}~Гн$; индукция магнитного поля $B_0 = 0.01~ Тл$, константы $\alpha = 2~ м^{-1}$ и $\beta= 32~ м^{-1}$; начальные координаты центра кольца $(0, 0)$.
Всеми видами трения, само- и взаимоиндуктивностью пренебречь.
186★
187★ Первоначально незаряженный конденсатор помещен в магнитное поле индукцией $B$, параллельное его пластинам (см. рис). Между пластинами перпендикулярно вектору магнитного поля начинает течь со скоростью $v$ электрически нейтральная жидкость. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, диэлектрическая проницаемость жидкости $\mathcal E$ .
