### Marking scheme

B1  3,00 A current $I$ flows through a loop made of a weightless flexible wire. The loop upper point is attached to the ceiling and a weight is suspended to its lowest point. The half length of the loop is $L$. The loop is placed in a vertical magnetic field $B$. The system has reached a stable equilibrium in which the point of suspension at the ceiling and the point of weight suspension are not on the same vertical. Find the wire tension $T$ and the weight $P$ if the distance from the ceiling to the lowest point of the loop is $H$.

 B1. 1 M1 Magnetic force acting on a wire $d\mathbf{F}=I d\mathbf l\times \mathbf B$ Сила Ампера $d\mathbf{F}=I d\mathbf l\times \mathbf B$ 0,30 B1. 2 M1 Lost $\sin\alpha$ (or cross product) in the magnetic force Нет синуса угла (векторного произведения) в силе Ампера -0,10 B1. 3 M1 Force balance in the horizontal plane Either for a small piece of wire (with $dl$ and $d\theta$) Or in integrated form ($2T_y = IB\Delta x$) Баланс сил в горизонтальной плоскости Либо для маленького участка с $dl$ и $d\theta$ Либо в проинтегрированном виде $2T_y = IB\Delta x$ 0,70 B1. 4 M1 Relation $IBR=T\sin\alpha$ Связь радиуса и силы натяжения $IBR=T\sin\alpha$ 0,50 B1. 5 M2 Potential energy as a sum of two components $U=U_B+U_G$ (only formula counts) Потенциальная энергия это сумма магнитной и гравитационной $U=U_B+U_G$ (есть формула) 0,20 B1. 6 M2 Gravitational energy $U_G=-PH$ Гравитационная энергия $U_G=-PH$ 0,10 B1. 7 M2 Energy of a current loop in the magnetic field $U=-IBS_h$ Энергия витка тока в магнитном поле $U=-IBS_h$ 0,30 B1. 8 M2 Equlibrium condition (derivative with respect to $H$ or $R$): $U'_B + U'_G = 0$ Условие равновесия (производная по $H$ или $R$): $U'_B + U'_G = 0$ 0,90 B1. 9 M3 Magnetic force acting on a wire $d\mathbf{F}=I d\mathbf l\times \mathbf B$ Or magnetic moment $d\mathbf m=Id\mathbf S$ Сила Ампера $d\mathbf{F}=I d\mathbf l\times \mathbf B$ Или магнитный момент $d\mathbf m=Id\mathbf S$ 0,30 B1. 10 M3 Lost $\sin\alpha$ (or cross product) in the magnetic force Нет синуса угла (векторного произведения) в силе Ампера -0,10 B1. 11 M3 Torque of a magnetic force $d\mathbf M = \mathbf r \times d\mathbf F$ or $d\mathbf M=d\mathbf m \times \mathbf B$ (or in projection) Момент силы ампера $d\mathbf M = \mathbf r \times d\mathbf F$ или $d\mathbf M=d\mathbf m \times \mathbf B$ (или в проекции) 0,30 B1. 12 M3 Torque balance $\int d M_y - P\Delta x = 0$ No point if $\mathbf m$ was considered instead of $d\mathbf m$ (flat loop) Равенство моментов сил $\int d M_y - P\Delta x = 0$ Баллы не ставятся если рассматривался $\mathbf m$ вместо $d\mathbf m$ (плоская петля) 0,50 B1. 13 M3 Torque integral is calculated $\int d M_y=\frac{4}\pi IRBH$ Взят интеграл $\int d M_y=\frac{4}\pi IRBH$ 0,40 B1. 14 The figure or formula shows that the loop is a circle in a horizontal projection Из рисунка или формулы понятно, что петля в проекции — окружность. 0,30 B1. 15 The figure or formula shows that the loop is not flat Из рисунка или формулы понятно, что петля не лежит в плоскости 0,30 B1. 16 Geometric relation $L^2=H^2+(\pi R)^2$. (The formula automatically validates 2 previous items) Связь $L^2=H^2+(\pi R)^2$. (Формула автоматически даёт баллы за предыдущие два пункта) 0,20 B1. 17 Relation $2T\cos\alpha = P$ from force balance at a suspension point Связь $2T\cos\alpha = P$ из баланса сил в точке подвеса груза 0,30 B1. 18 Answer $T=\frac1\pi IBL$ Ответ $T=\frac1\pi IBL$ 0,20 B1. 19 Answer $P=\frac2\pi IBH$ Ответ $P=\frac2\pi IBH$ 0,20 B1. 20 Simple arithmetic mistake or typo (lost/extra coefficient like 2 or $\pi$) Простая арифметическая ошибка/опечатка (забытая двойка или $\pi$) -0,20