Logo
Logo

Suspension in magnetic field

B1  3.00 A current $I$ flows through a loop made of a weightless flexible wire. The loop upper point is attached to the ceiling and a weight is suspended to its lowest point. The half length of the loop is $L$. The loop is placed in a vertical magnetic field $B$. The system has reached a stable equilibrium in which the point of suspension at the ceiling and the point of weight suspension are not on the same vertical. Find the wire tension $T$ and the weight $P$ if the distance from the ceiling to the lowest point of the loop is $H$.

__
M1 Magnetic force acting on a wire $d\mathbf{F}=I d\mathbf l\times \mathbf B$

Сила Ампера $d\mathbf{F}=I d\mathbf l\times \mathbf B$
0.30
M1 Lost $\sin\alpha$ (or cross product) in the magnetic force

Нет синуса угла (векторного произведения) в силе Ампера
-0.10
M1 Force balance in the horizontal plane
Either for a small piece of wire (with $dl$ and $d\theta$)
Or in integrated form ($2T_y = IB\Delta x$)

Баланс сил в горизонтальной плоскости
Либо для маленького участка с $dl$ и $d\theta$
Либо в проинтегрированном виде $2T_y = IB\Delta x$
0.70
M1 Relation $IBR=T\sin\alpha$

Связь радиуса и силы натяжения $IBR=T\sin\alpha$
0.50
M2 Potential energy as a sum of two components $U=U_B+U_G$ (only formula counts)

Потенциальная энергия это сумма магнитной и гравитационной $U=U_B+U_G$ (есть формула)
0.20
M2 Gravitational energy $U_G=-PH$

Гравитационная энергия $U_G=-PH$
0.10
M2 Energy of a current loop in the magnetic field $U=-IBS_h$

Энергия витка тока в магнитном поле $U=-IBS_h$
0.30
M2 Equlibrium condition (derivative with respect to $H$ or $R$): $U'_B + U'_G = 0$

Условие равновесия (производная по $H$ или $R$): $U'_B + U'_G = 0$
0.90
M3 Magnetic force acting on a wire $d\mathbf{F}=I d\mathbf l\times \mathbf B$
Or magnetic moment $d\mathbf m=Id\mathbf S$

Сила Ампера $d\mathbf{F}=I d\mathbf l\times \mathbf B$
Или магнитный момент $d\mathbf m=Id\mathbf S$
0.30
M3 Lost $\sin\alpha$ (or cross product) in the magnetic force

Нет синуса угла (векторного произведения) в силе Ампера
-0.10
M3 Torque of a magnetic force $d\mathbf M = \mathbf r \times d\mathbf F$ or $d\mathbf M=d\mathbf m \times \mathbf B $ (or in projection)


Момент силы ампера $d\mathbf M = \mathbf r \times d\mathbf F$ или $d\mathbf M=d\mathbf m \times \mathbf B $ (или в проекции)
0.30
M3 Torque balance $\int d M_y - P\Delta x = 0$
No point if $\mathbf m$ was considered instead of $d\mathbf m$ (flat loop)

Равенство моментов сил $\int d M_y - P\Delta x = 0$
Баллы не ставятся если рассматривался $\mathbf m$ вместо $d\mathbf m$ (плоская петля)
0.50
M3 Torque integral is calculated $\int d M_y=\frac{4}\pi IRBH$

Взят интеграл $\int d M_y=\frac{4}\pi IRBH$
0.40
The figure or formula shows that the loop is a circle in a horizontal projection

Из рисунка или формулы понятно, что петля в проекции — окружность.
0.30
The figure or formula shows that the loop is not flat

Из рисунка или формулы понятно, что петля не лежит в плоскости
0.30
Geometric relation $L^2=H^2+(\pi R)^2$. (The formula automatically validates 2 previous items)

Связь $L^2=H^2+(\pi R)^2$. (Формула автоматически даёт баллы за предыдущие два пункта)
0.20
Relation $2T\cos\alpha = P$ from force balance at a suspension point

Связь $2T\cos\alpha = P$ из баланса сил в точке подвеса груза
0.30
Answer $T=\frac1\pi IBL$

Ответ $T=\frac1\pi IBL$
0.20
Answer $P=\frac2\pi IBH$

Ответ $P=\frac2\pi IBH$
0.20
Simple arithmetic mistake or typo (lost/extra coefficient like 2 or $\pi$)

Простая арифметическая ошибка/опечатка (забытая двойка или $\pi$)
-0.20