Pho.rs: Anisotropic friction

A1 ^0.50 At what angle $\alpha_1$ to the $X$ axis should the body velocity vector be for the absolute value of the power of the friction force be at maximum?

__

M1 Right answer without false statements Получен верный ответ, без использования неверных утверждений $$ \alpha_1 = 0 $$	0.50
M2 Use of the equation (or the equivalent) for the power $$P = (\vec{F} \cdot \vec{v})$$ Использовано выражение для мощности $$P = (\vec{F} \cdot \vec{v})$$ или эквивалентное	0.10
M2 Maximum of the power, with the explanation Обоснованно получен максимум мощности	0.30
M2 Right answer Верный ответ $$ \alpha_1 = 0 $$	0.10

A2 ^0.50 At what angle $\alpha_2$ to the $X$ axis should the body velocity vector be for the absolute value of the power of the friction force be 1.2 times less than maximum?

__

Using of the expression (or the equivalent) $$ 1{.}2 \cdot \left( \mu_x \frac{v_x^2}{v} + \mu_y \frac{v_y^2}{v} \right) =\mu_x v, $$ Используется выражение $$ 1{,}2 \cdot \left( \mu_x \frac{v_x^2}{v} + \mu_y \frac{v_y^2}{v} \right) =\mu_x v, $$ или аналогичное ему	0.20
Correct form of one of the following expressions: $$ \cos \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{5\mu_x - 6\mu_y}{6(\mu_x - \mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{\mu_x}{6(\mu_x-\mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Верно найдено одно из следующих выражений: $$ \cos \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{5\mu_x - 6\mu_y}{6(\mu_x - \mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{\mu_x}{6(\mu_x-\mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$	0.20
Getting one of the angles: $$ \alpha_2 = \pm \frac{\pi}{4} ; \: \pm \frac{3\pi}{4} $$ Получен один из углов: $$ \alpha_2 = \pm \frac{\pi}{4} ; \: \pm \frac{3\pi}{4} $$	0.10

A3 ^1.00 Let the initial velocity have components $v_{0x} = 1 \text{m/s}$ and $v_{0y} = 1 \text{m/s}$. After some time the velocity component along the $Y$ axis equals $v_{1y} = 0,\!25 \text{m/s}$. What is the velocity magnitude at this moment?

__

Differential equation on $v_x$ and $v_y$ of the following type: $$ \frac{dv_x}{dv_y} = \frac{\mu_x v_x}{\mu_y v_y} $$ The following subsections of the A3 are given zero points, if this subsection was given zero points. Дифференциальное уравнение, связывающее проекции $v_x$ и $v_y$: $$ \frac{dv_x}{dv_y} = \frac{\mu_x v_x}{\mu_y v_y} $$ или аналогичное. За последующие подпункты А3 баллы не ставятся, если в этом пункте стоит 0.	0.30
Integral of motion is obtained $$\frac{v_x^{\mu_y}}{v_y^{\mu_x}} = const $$ Найден интеграл движения $$\frac{v_x^{\mu_y}}{v_y^{\mu_x}} = const $$	0.30
The expression or the numerical answer for the projection is found $$v_{1x} = 0{.}125 \text{m/s}$$ Найдена проекция в виде формулы или числа $$v_{1x} = 0{,}125 \text{м/c}$$	0.10
$$v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2} $$ Points for this section are given only upon correct $v_{1x}$. $$v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2} $$ Баллы за пункт ставятся только при верном $v_{1x}$.	0.20
$$ v_1 = 0{.}28 \text{m/s} $$	0.10

A4 ^1.00 Let the velocity be $v_2 = 1.0 \text{m/s}$. At what angle $\alpha_3$ to the $X$ axis should the velocity vector be for the radius of curvature of the trajectory be minimum? What is this radius equal to? The free fall acceleration is $g=9,\!8 \text{m/s}^2$.

__

The components of the friction force $x$ и $y$ are correctly projected onto the perpendicular to the velocity $$ F_{xn} = \mu_x mg \sin \alpha \cos \alpha \\ F_{yn} = -\mu_y mg \sin \alpha \cos \alpha $$ 0.2 pts for each component. Enter an integer how many components are correct. Составляющие силы трения по осям $x$ и $y$ правильно спроецированы на перпендикуляр к скорости $$ F_{xn} = \mu_x mg \sin \alpha \cos \alpha \\ F_{yn} = -\mu_y mg \sin \alpha \cos \alpha $$ (до 2 точек)	2 × 0.20
$$ a_n = \frac{v^2}{R_{cr}} $$	0.10
The expression for the radius of curvature: $$ R_{cr} = \frac{v^2}{g \: (\mu_x - \mu_y) \sin \alpha \cos \alpha} $$ Выражение для радиуса кривизны: $$ R_{cr} = \frac{v^2}{g \: (\mu_x - \mu_y) \sin \alpha \cos \alpha} $$	0.20
Radius of curvature has a minimum at (with explanation) $$ \alpha_3 = \frac{\pi}{4} $$ Обоснованно получено, что радиус кривизны минимален при $$ \alpha_3 = \frac{\pi}{4} $$	0.10
Correct expression for the minimal radius of curvature $$ R_{min} = \frac{2v_2^2}{g \: (\mu_x - \mu_y)}$$ Получено верное выражение для минимального радиуса кривизны $$ R_{min} = \frac{2v_2^2}{g \: (\mu_x - \mu_y)}$$	0.10
Numerical answer $$ R_{min} = 0{.}82 \text{m} $$ Получен численный ответ $$ R_{min} = 0,82 м $$	0.10

A5 ^1.00 In a single diagram on the $XY$ plane, sketch the trajectories of the body launched at the angles $\alpha_4 = \pi/6$ and $\alpha_5 = \pi/3$ for the friction coefficients specified above. The magnitudes of initial velocities are the same. Solve the same problem for the friction coefficients $ \mu_x = 0,\! 4$ and $\mu_y = 0,\!7$.

__

Functions $y(x)$ are monotonic and there is a bijection between $x$ and $y$. 0.05 pt for each curve satisfying the above. Enter the number of curves. Зависимости $y(x)$ монотонны и между $x$ и $y$ существует биекция. (до 4 точек)	4 × 0.05
Convex functions in the first case, concave in the second 0.10 pt for each curve satisfying the above. Enter the number of curves. Строгая выпуклость вниз в первом случае и вверх во втором (до 4 точек)	4 × 0.10
Tangents at a stopping points are parallel to $y$ axis in the first case and $x$ axis in the second. 0.10 pt for each curve satisfying the above. Enter the number of curves. Касательные в точках остановки параллельны оси $y$ в первом случае и оси $x$ во втором случае (до 4 точек)	4 × 0.10

B1 ^2.00 A body of mass $m$ is at rest at the origin. A force has been applied to it at an angle $\alpha$ to the $X$ axis. The force magnitude $F(t)=\gamma t$ linearly grows with time. Find the dependence of the moment the body starts moving on $\alpha$. Ignore the stagnation phenomenon.

__

It is mentioned in the solution that the angle $\varphi$ (angle of velocity in the beginning of the motion) is a some continuous function of the $\alpha$ ($\phi(\alpha) \neq \alpha$) and it is not equal to $0$ or $\pi/2$ everywhere but some points. All the following subsections of B1 are given zero points if this subsection was given zero. В решении используется, что угол $\varphi$, под которым будет направлена скорость при начале движения тела, является некоторой непрерывной функцией $\varphi(\alpha)\ne\alpha$, отличной от $0$ и $\pi/2$ везде, кроме нескольких точек. За последующие подпункты В1 баллы не ставятся, если в этом пункте стоит 0.	0.80
$$ F_x = \mu_x mg \cos \varphi \\ F_y = \mu_y mg \sin \varphi $$ 0.2 pts for each component. Enter an integer how many components are correct. (до 2 точек)	2 × 0.20
$$ F_x = F \cos \alpha \\ F_y = F \sin \alpha $$ 0.1 pts for each component. Enter an integer how many components are correct. (до 2 точек)	2 × 0.10
$$ F = \frac{\mu_x \mu_y}{\sqrt{\mu_x^2 \sin^2 \alpha + \mu_y^2 \cos^2 \alpha}} mg $$	0.50
$$ t = \frac{\mu_x \mu_y}{\sqrt{\mu_x^2 \sin^2 \alpha + \mu_y^2 \cos^2 \alpha}} \frac{mg}{\gamma} $$	0.10

C1 ^1.50 For a given initial velocity $ v_0 $ find the dependence of its velocity $ v $ on the angle of rotation of the rod $ \varphi $ assuming that the other body remains at rest.

__

Got the expression of the form $$\dfrac{dv}{dt}=-g\left(\mu_x \cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right)$$ Получена формула вида: $$\dfrac{dv}{dt}=-g\left(\mu_x \cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right)$$	0.40
Got the expression of the form $$L\dot\varphi d\dot\varphi=-g\left(\mu_x\cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right)d\varphi$$ Получено выражение вида: $$L\dot\varphi d\dot\varphi=-g\left(\mu_x\cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right)d\varphi$$	0.40
Integration done right: $$v^2+gL\left((\mu_x+\mu_y)\varphi+(\mu_x-\mu_y)\dfrac{\sin2\varphi}{2}\right)=v_0^2$$ Верно проинтегрировано уравнение из предыдущего пункта и получен интеграл движения в виде: $$v^2+gL\left((\mu_x+\mu_y)\varphi+(\mu_x-\mu_y)\dfrac{\sin2\varphi}{2}\right)=v_0^2$$	0.70

C2 ^1.50 Find the maximum value of the initial velocity $ v_{0\mathrm{max}}$ at which the other body will remain at rest.

__

For the motion of the point-like mass the Newton's second law is written (projected onto the rod's axis). For example, $$T+F_{\text{fr}}\sin\beta=m\dot\varphi^2L$$ where $\beta$ is the angle between friction force and line of the velocity vector. Для движущейся материальной точки записан второй закон Ньютона на ось, направленную вдоль стержня. Например: $$T+F_{\text{fr}}\sin\beta=m\dot\varphi^2L$$ где $\beta$ это угол между силой трения и линией вектора скорости.	0.40
Correct expression for the dependence of the tension $T$ on angle $\varphi$ $$T=Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi$$ Получена зависимость для силы натяжения стержня в зависимости от угла поворота $\varphi$ $$T=Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi$$	0.20
Using the right answer from the B1, the condition on getting out of the equilibrium is obtained $$Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi\le\dfrac{\mu_x\mu_y}{\sqrt{\mu_y^2\sin^2\varphi+\mu_x^2\cos^2\varphi}}mg$$ Используя верный результат пункта B1, получено условие на выход из положения равновесия второй материальной точки: $$Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi\le\dfrac{\mu_x\mu_y}{\sqrt{\mu_y^2\sin^2\varphi+\mu_x^2\cos^2\varphi}}mg$$	0.20
The conclusion "If at $\varphi=0$ the point is not started to move, than it would be in the rest", based on the previous subsection На основе предыдущего пункта сделан вывод о том, что если при $\varphi=0$ материальная точка не пришла в движение, то дальше она будет все время покоиться.	0.40
Expression for $v_\text{0max}$ $$v_\text{0max}^2=\mu_ygL$$ Получено выражение для $v_\text{0max}$ $$v_\text{0max}^2=\mu_ygL$$	0.20
Correct numerical answer $2{.}2\text{m/s}$. Получен верный численный ответ 2,2 м/с	0.10

C3 ^1.00 What distance will the body travel until it stops completely if the initial velocity is $ v_{0\mathrm{max}} $?

__

Correct numerical answer between $0{.}32\text{m}$ and $0{.}36\text{m}$ using the correct equation.

При наличии правильной формулы получен верный численный ответ в пределах от 0,32 м до 0,36 м.

1.00

Anisotropic friction

Разбалловка