A1. 2
M1
Right answer without false statements
Получен верный ответ, без использования неверных утверждений $$ \alpha_1 = 0 $$ |
0.50 |
|
A1. 3
M2
Use of the equation (or the equivalent) for the power $$P = (\vec{F} \cdot \vec{v})$$
Использовано выражение для мощности $$P = (\vec{F} \cdot \vec{v})$$ или эквивалентное |
0.10 |
|
A1. 4
M2
Maximum of the power, with the explanation
Обоснованно получен максимум мощности |
0.30 |
|
A1. 5
M2
Right answer
Верный ответ $$ \alpha_1 = 0 $$ |
0.10 |
|
A2. 1
Using of the expression (or the equivalent)
$$ 1{.}2 \cdot \left( \mu_x \frac{v_x^2}{v} + \mu_y \frac{v_y^2}{v} \right) =\mu_x v, $$ Используется выражение $$ 1{,}2 \cdot \left( \mu_x \frac{v_x^2}{v} + \mu_y \frac{v_y^2}{v} \right) =\mu_x v, $$ или аналогичное ему |
0.20 |
|
A2. 2
Correct form of one of the following expressions:
$$ \cos \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{5\mu_x - 6\mu_y}{6(\mu_x - \mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{\mu_x}{6(\mu_x-\mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Верно найдено одно из следующих выражений: $$ \cos \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{5\mu_x - 6\mu_y}{6(\mu_x - \mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin \alpha_2 = \pm \sqrt{\frac{\mu_x}{6(\mu_x-\mu_y)}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$ |
0.20 |
|
A2. 3
Getting one of the angles:
$$ \alpha_2 = \pm \frac{\pi}{4} ; \: \pm \frac{3\pi}{4} $$ Получен один из углов: $$ \alpha_2 = \pm \frac{\pi}{4} ; \: \pm \frac{3\pi}{4} $$ |
0.10 |
|
A3. 1
Differential equation on $v_x$ and $v_y$ of the following type:
$$ \frac{dv_x}{dv_y} = \frac{\mu_x v_x}{\mu_y v_y} $$ The following subsections of the A3 are given zero points, if this subsection was given zero points. Дифференциальное уравнение, связывающее проекции $v_x$ и $v_y$: $$ \frac{dv_x}{dv_y} = \frac{\mu_x v_x}{\mu_y v_y} $$ или аналогичное. За последующие подпункты А3 баллы не ставятся, если в этом пункте стоит 0. |
0.30 |
|
A3. 2
Integral of motion is obtained $$\frac{v_x^{\mu_y}}{v_y^{\mu_x}} = const $$
Найден интеграл движения $$\frac{v_x^{\mu_y}}{v_y^{\mu_x}} = const $$ |
0.30 |
|
A3. 3
The expression or the numerical answer for the projection is found $$v_{1x} = 0{.}125~\text{m/s}$$
Найдена проекция в виде формулы или числа $$v_{1x} = 0{,}125~\text{м/c}$$ |
0.10 |
|
A3. 4
$$v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2} $$
Points for this section are given only upon correct $v_{1x}$. $$v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2} $$ Баллы за пункт ставятся только при верном $v_{1x}$. |
0.20 |
|
A3. 5 $$ v_1 = 0{.}28 \text{m/s} $$ | 0.10 |
|
A4. 1
The components of the friction force $x$ и $y$ are correctly projected onto the perpendicular to the velocity
$$ F_{xn} = \mu_x mg \sin \alpha \cos \alpha \\ F_{yn} = -\mu_y mg \sin \alpha \cos \alpha $$ 0.2 pts for each component. Enter an integer how many components are correct. Составляющие силы трения по осям $x$ и $y$ правильно спроецированы на перпендикуляр к скорости $$ F_{xn} = \mu_x mg \sin \alpha \cos \alpha \\ F_{yn} = -\mu_y mg \sin \alpha \cos \alpha $$ |
2 × 0.20 |
|
A4. 2 $$ a_n = \frac{v^2}{R_{cr}} $$ | 0.10 |
|
A4. 3
The expression for the radius of curvature:
$$ R_{cr} = \frac{v^2}{g \: (\mu_x - \mu_y) \sin \alpha \cos \alpha} $$ Выражение для радиуса кривизны: $$ R_{cr} = \frac{v^2}{g \: (\mu_x - \mu_y) \sin \alpha \cos \alpha} $$ |
0.20 |
|
A4. 4
Radius of curvature has a minimum at (with explanation)
$$ \alpha_3 = \frac{\pi}{4} $$ Обоснованно получено, что радиус кривизны минимален при $$ \alpha_3 = \frac{\pi}{4} $$ |
0.10 |
|
A4. 5
Correct expression for the minimal radius of curvature
$$ R_{min} = \frac{2v_2^2}{g \: (\mu_x - \mu_y)}$$ Получено верное выражение для минимального радиуса кривизны $$ R_{min} = \frac{2v_2^2}{g \: (\mu_x - \mu_y)}$$ |
0.10 |
|
A4. 6
Numerical answer
$$ R_{min} = 0{.}82 \text{m} $$ Получен численный ответ $$ R_{min} = 0,82 м $$ |
0.10 |
|
A5. 1
Functions $y(x)$ are monotonic and there is a bijection between $x$ and $y$.
0.05 pt for each curve satisfying the above. Enter the number of curves. Зависимости $y(x)$ монотонны и между $x$ и $y$ существует биекция. |
4 × 0.05 |
|
A5. 2
Convex functions in the first case, concave in the second 0.10 pt for each curve satisfying the above. Enter the number of curves. Строгая выпуклость вниз в первом случае и вверх во втором. |
4 × 0.10 |
|
A5. 3
Tangents at a stopping points are parallel to $y$ axis in the first case and $x$ axis in the second.
0.10 pt for each curve satisfying the above. Enter the number of curves. Касательные в точках остановки параллельны оси $y$ в первом случае и оси $x$ во втором случае |
4 × 0.10 |
|
B1. 1
It is mentioned in the solution that the angle $\varphi$ (angle of velocity in the beginning of the motion) is a some continuous function of the $\alpha$ ($\phi(\alpha) \neq \alpha$) and it is not equal to $0$ or $\pi/2$ everywhere but some points.
All the following subsections of B1 are given zero points if this subsection was given zero. В решении используется, что угол $\varphi$, под которым будет направлена скорость при начале движения тела, является некоторой непрерывной функцией $\varphi(\alpha)\ne\alpha$, отличной от $0$ и $\pi/2$ везде, кроме нескольких точек. За последующие подпункты В1 баллы не ставятся, если в этом пункте стоит 0. |
0.80 |
|
B1. 2
$$
F_x = \mu_x mg \cos \varphi \\ F_y = \mu_y mg \sin \varphi $$ 0.2 pts for each component. Enter an integer how many components are correct. |
2 × 0.20 |
|
B1. 3
$$
F_x = F \cos \alpha \\ F_y = F \sin \alpha $$ 0.1 pts for each component. Enter an integer how many components are correct. |
2 × 0.10 |
|
B1. 4
$$
F = \frac{\mu_x \mu_y}{\sqrt{\mu_x^2 \sin^2 \alpha + \mu_y^2 \cos^2 \alpha}} mg $$ |
0.50 |
|
B1. 5
$$
t = \frac{\mu_x \mu_y}{\sqrt{\mu_x^2 \sin^2 \alpha + \mu_y^2 \cos^2 \alpha}} \frac{mg}{\gamma} $$ |
0.10 |
|
C1. 1
Got the expression of the form
$$\dfrac{dv}{dt}=-g\left(\mu_x \cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right)$$ Получена формула вида: $$\dfrac{dv}{dt}=-g\left(\mu_x \cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right)$$ |
0.40 |
|
C1. 2
Got the expression of the form
$$L\dot\varphi d\dot\varphi=-g\left(\mu_x\cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right)d\varphi$$ Получено выражение вида: $$L\dot\varphi d\dot\varphi=-g\left(\mu_x\cos^2\varphi+\mu_y\sin^2\varphi\right)d\varphi$$ |
0.40 |
|
C1. 3
Integration done right:
$$v^2+gL\left((\mu_x+\mu_y)\varphi+(\mu_x-\mu_y)\dfrac{\sin2\varphi}{2}\right)=v_0^2$$ Верно проинтегрировано уравнение из предыдущего пункта и получен интеграл движения в виде: $$v^2+gL\left((\mu_x+\mu_y)\varphi+(\mu_x-\mu_y)\dfrac{\sin2\varphi}{2}\right)=v_0^2$$ |
0.70 |
|
C2. 1
For the motion of the point-like mass the Newton's second law is written (projected onto the rod's axis). For example,
$$T+F_{\text{fr}}\sin\beta=m\dot\varphi^2L$$ where $\beta$ is the angle between friction force and line of the velocity vector. Для движущейся материальной точки записан второй закон Ньютона на ось, направленную вдоль стержня. Например: $$T+F_{\text{fr}}\sin\beta=m\dot\varphi^2L$$ где $\beta$ это угол между силой трения и линией вектора скорости. |
0.40 |
|
C2. 2
Correct expression for the dependence of the tension $T$ on angle $\varphi$
$$T=Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi$$ Получена зависимость для силы натяжения стержня в зависимости от угла поворота $\varphi$ $$T=Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi$$ |
0.20 |
|
C2. 3
Using the right answer from the B1, the condition on getting out of the equilibrium is obtained
$$Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi\le\dfrac{\mu_x\mu_y}{\sqrt{\mu_y^2\sin^2\varphi+\mu_x^2\cos^2\varphi}}mg$$ Используя верный результат пункта B1, получено условие на выход из положения равновесия второй материальной точки: $$Lm\dot\varphi_0^2-mg(\mu_x+\mu_y)\varphi-mg(\mu_x-\mu_y)\sin2\varphi\le\dfrac{\mu_x\mu_y}{\sqrt{\mu_y^2\sin^2\varphi+\mu_x^2\cos^2\varphi}}mg$$ |
0.20 |
|
C2. 4
The conclusion "If at $\varphi=0$ the point is not started to move, than it would be in the rest", based on the previous subsection
На основе предыдущего пункта сделан вывод о том, что если при $\varphi=0$ материальная точка не пришла в движение, то дальше она будет все время покоиться. |
0.40 |
|
C2. 5
Expression for $v_\text{0max}$
$$v_\text{0max}^2=\mu_ygL$$ Получено выражение для $v_\text{0max}$ $$v_\text{0max}^2=\mu_ygL$$ |
0.20 |
|
C2. 6
Correct numerical answer $2{.}2\text{m/s}$.
Получен верный численный ответ 2,2 м/с |
0.10 |
|
C3. 1
Correct numerical answer between $0{.}32\text{m}$ and $0{.}36\text{m}$ using the correct equation.
При наличии правильной формулы получен верный численный ответ в пределах от 0,32 м до 0,36 м. |
1.00 |
|