Pho.rs: Газовый четырехугольник

В этой части задачи газ молярной массы $\mu$ стационарно движется по прямолинейной горизонтальной трубе без трения о её стенки. Входные параметры газа $v_0, T_0, S_0, \rho_0$, а также $C_p$ считайте заданными. Также считайте любое сечение симметричным и пренебрегайте составляющими скорости, которые перпендикулярны оси симметрии.

Пусть труба адиабатически изолирована. Получите зависимость скорости газа от его температуры.

ЗСЭ
$$P_0 dV_0-PdV=dm\left(\frac{v^2-v_0^2}{2}+\frac{C_V}{\mu}(T-T_0)\right)$$

Покажите, что при течении газа выполняется соотношение $$v\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx}.$$

Теперь к любому участку трубы длиной $L$ подводится тепловая мощность $N=kL$. Получите выражение для скорости газа как функцию от $x$ и $T$.

Теперь и температура газа линейно зависит от $x$ по закону $T=T_0+\alpha x$. Покажите, что газ движется по трубе равноускоренно и найдите это ускорение $a$.

Получите уравнение политропного процесса с постоянной молярной теплоёмкостью $C$ в координатах $(P, \rho)$.

Покажите, что в условиях пункта А4 газ движется так, будто бы находится в политропном процессе.

Часть B. Замкнутая труба (5 баллов)

Рассмотрим четырёхугольник $abcd$, по которому стационарно движется некоторая масса газа. Введём обозначения: $ab=L_1, bc=L_2, cd=L_3, da=L_4$. На участке $ab$: $\frac{dT}{dx}=A, \frac{dN}{dx}=\alpha$; на участке $bc$: $\frac{dT}{dx}=B, \frac{dN}{dx}=\beta$; $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A$ считайте заданными. Для участка $cd$: $\frac{dT}{dx}=-A, \frac{dN}{dx}=-\alpha$ и для $da$: $\frac{dT}{dx}=-B, \frac{dN}{dx}=-\beta$.
Ось $x$ направлена для каждой трубы от первой точки участка ко второй (например, для $ab$ от $a$ к $b$).

Найдите теплоты $\delta Q_{ab}, \delta Q_{bc}, \delta Q_{cd}, \delta Q_{da}$, полученные порцией газа массой $dm$ на данных участках четырехугольника. Ответы могут быть выражены через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, \beta, B, L_1, L_2, L_3, L_4$ и $dm$.

Докажите, что для стационарности такой системы необходимо, чтобы молярная теплоёмкость газа была постоянна в течении всего цикла.

Найдите минимальное время $t$, через которое газ возвращается в начальное положение. Ответ выразите через скорости в точках пересечения труб и ускорения в трубах (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6).

Найдите массу газа в трубе. Ответ выразите через $\dot{m}$ и $t$ (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6).