Logo
Logo

Стержень в углу

Однородный тонкий стержень массы $m$ поставили в угол, образованный вертикальной стеной и горизонтальным полом. Угол между стержнем и полом $\alpha$. Ось стержня и ребро двугранного угла перпендикулярны. Коэффициент трения между стержнем и поверхностями равен $\mu=\mathrm{tg}\,\beta$, и он недостаточно велик, чтобы удержать стержень в таком положении (считая, что к стержню приложены только силы реакции опоры и сила тяжести).
Какую минимальную дополнительную силу нужно приложить, чтобы удержать стержень в данном положении? Разумеется, считается, что точка приложения силы и направление оптимальны. Ответ выразите через $m, g, \alpha$ и $\beta$.
$$
F=\begin{cases}
\cfrac{mg}{2} \cfrac{\cos(2\beta+\alpha)}{\cos(\alpha+\beta)} \text{при} \alpha+\beta\le\cfrac{\pi}{4}\\
\cfrac{mg}{2} \cfrac{\cos(2\beta+\alpha)}{\sin(\alpha+\beta)} \text{при} \alpha+\beta > \cfrac{\pi}{4}
\end{cases}
$$