Весом нити можно пренебречь. Нить не~перекручивается, когда ее тянут.
Вам может пригодиться интеграл
$$
2\int \sqrt{1+x^2} \, \mathrm dx = x\sqrt{1+x^2} + \operatorname{arcsinh} x \,,
$$
где $\operatorname{arcsinh} x\equiv \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$.