A1  ^?? Найдите
\[
\left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|.
\]
Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями:
$$
\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2}
$$

$$
\left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}} + \frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|^2=
(\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}} + \frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}) \cdot \overline{(\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}} + \frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}})} = \\
=(\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}} + \frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}) \cdot (\frac{1+e^{-ix}}{1+e^{-iy}} + \frac{1+e^{-iy}}{1+e^{-ix}})=\\=\frac{2 + 2\cos x}{2+2\cos y} + \frac{2 + 2\cos y}{2 + 2\sin y}
+\frac{(1+e^{ix})(1+e^{-iy})}{(1+e^{iy})(1+e^{-ix})} + \overline{\frac{(1+e^{ix})(1+e^{-iy})}{(1+e^{iy})(1+e^{-ix})} } = \\
=\frac{1+\cos x}{1 + \cos y} + \frac{1+\cos y}{1+\cos x} + 2 \text{Re}(e^{i(x-y)})=
\frac{1+\cos x}{1 + \cos y} + \frac{1+\cos y}{1+\cos x} + 2 \cos(x-y)
$$

A2  ^?? Представьте в показательной форме:
\[
\frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}}
\]

Модуль:
$$
\left|\frac{2+\sqrt{3}+i}{1+e^{ix}}\right|^2=\frac{(2+\sqrt{3})^2+1}{2(1+\cos x)}=\frac{4+2\sqrt{3}}{1+\cos x}
$$
Аргумент:
$$
\arctan \frac{1}{2+\sqrt{3}}-\arctan \frac{\sin x}{1 + \cos x}=\frac{\pi}{12}-\frac{x}{2}
$$

A3  ^?? Разложите $\sin^5 x$ в сумму первых степеней тригонометрических функций кратных аргументов ($\cos x$, $\cos 2x$, ...). Как можно заранее понять какие функции войдут в ответ?

$$
\sin^5 x = (\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^5=\frac{e^{5ix} - 5e^{3ix}+10e^{ix}-10e^{-ix}+5e^{-3ix}+e^{-5ix}}{32i}=\\
$$

A4  ^?? Представьте $\cos 4x$ в виде многочлена от $\cos x$.

$$
\cos 4x = \text{Re} (e^{4ix})=\text{Re}(\cos x + i \sin x)^4=\\
=\text{Re}(\cos^4 x - 6 \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x)=\\
=\cos^4 x - 6\cos^2 x (1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 x)^2=\\
=8\cos^4 x - 8\cos^2 x+1
$$

A5  ^?? Найти амплитуду колебания, которое возникает в результате сложения трех колебаний одного направления:
$x_1 = a \cos \omega t $,
$x_2=2a \sin \omega t$,
$x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$.
Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел.

Найдем комплексную амплитуду результирующего колебания, сложив комплексные амплитуды исходных:
$$
z=a+2ai+\frac{3}{2}ae^{i\pi/3} = a(1-2i+\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}i)
$$
Искомая амплитуда - это модуль $|z|$, т.е.

B1  ^?? Вычислите ряд
\[
\sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx}
\]

Это равно
$$
\text{Im} \sum_{k=0}^{\infty}r^k e^{ikx} = \text{Im} \sum_{k=0}^{\infty} (r e^{ix})^k=\text{Im} \frac{1}{1-re^{ix}}=\text{Im}\frac{1-re^{-ix}}{1-2r\cos x + r^2}=
$$

B2  ^?? Вычислите сумму
\[
C_n^1-C_n^3+C_n^5-...
\]

Это равно
$$
\text{Im}(1+i)^n=2^{n/2}\text{Im}\,e^{in\pi/4}=2^{n/2}\sin \frac{\pi n}{4}
$$

B3  ^?? Вычислите сумму
\[
\sum_{k=1}^n k \cos kx
\]

Нам нужна вещественная часть от $\sum_{k=1}^n k (e^{ix})^k$. Обозначим $q = e^{ix}$.
$$
\sum_{k=1}^{n}kq^k=\sum_{k=1}^{n}(k+1)q^k - \sum_{k=1}^{n}q^k=\\
=\frac{\partial}{\partial q}\sum_{k=1}^{n}q^{k+1} - \sum_{k=1}^{n}q^k=\frac{\partial}{\partial q} \frac{q^2(1-q^{n})}{1-q}-\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\\
=\frac{2q(1-q^{n})}{1-q}+\frac{nq^n}{1-q}+\frac{q^2(1-q^{n})}{(1-q)^2}-\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\\
=\frac{q(1-q^{n})}{1-q}+\frac{nq^n}{1-q}+\frac{q^2(1-q^{n})}{(1-q)^2}=\\
=\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2}
$$

Осталось взять вещественную часть:
$$
\text{Re}\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2}=\text{Re}\frac{nq^{n+1}-(n+1)q^{n}+1}{(q-1)(1-\overline{q})}=
$$

B4.1*  ^?? Проверьте, что уравнение
\[
az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R}
\]
задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение
\[
z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c
\]
задает окружность.

B4.2*  ^?? Рассмотрим преобразование $z \mapsto 1/\overline{z}$ плоскости комплексных чисел. Докажите, что прямые и окружности под его действием переходят в (возможно другие) прямые и окружности.

B5*  ^?? Найдите среднее значение $\sin^{100} x$, т.е.
\[
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx
\]

В разложении
$$
\sin^{100} x = (\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^{100}
$$
будут только осциллирующие члены (среднее значение которых равно нулю) и константа, равная

C1  ^?? Вычислите
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}.
$$

$$
\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2+bx}=
\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-a(x-\frac{b}{2a})^2+\frac{b^2}{4a}}=
$$

C2  ^?? Дифференцируя интеграл выше по параметру $b$, найдите значения интегралов
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2}
$$

$$
\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2}x^2=\frac{\partial^2}{\partial^2 b}\Bigg|_{b=0}
\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2+bx}=
\frac{\partial^2}{\partial^2 b}\Bigg|_{b=0}\left(e^{\frac{b^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\right)=
$$

$$
\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2}x^2=\frac{\partial^4}{\partial^4 b}\Bigg|_{b=0}
\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{-ax^2+bx}=
\frac{\partial^4}{\partial^4 b}\Bigg|_{b=0}\left(e^{\frac{b^2}{4a}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\right)=
$$

C3  ^?? Предположим, что формула для $\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{-a x^2}$ годится и для комплексных $a$.
Вычислите с помощью этой формулы интегралы
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2).
$$

Нужные интегралы - это вещественная и мнимая части интеграла
$$
\int_{-\infty}^{\infty}dx\, e^{ix^2}=\sqrt{\frac{\pi}{-i}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}(i + 1)
$$
(мы выбираем этот корень, т.к. очевидно $\int_{-\infty}^{\infty}dx\, cos(x^2) > 0$).
Остается взять вещественную и мнимую части. Для обоих интегралов ответ

D1  ^?? Для уравнения
\[
(\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0
\]
с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$.

Нужно заметить, что на данном отрезке $\sin \sqrt{x}$ примерно постоянен.

D2  ^?? Найти период колебаний
\[
\ddot{x} + x^{3/2} = 0
\]
если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$.

Мы можем интерпретировать это уравнение как 2-ой закон Ньютона для силы $F=-x^{3/2}$, и массы $m=1$. Сила зависит только от координаты, значит потенциальна. Ее потенциальная энергия находится интегрированием:
$$
U(x) = \frac{2}{5}x^{5/2}
$$
Кинетическая энергия, как всегда, равна
$$
K = \frac{\dot{x}^2}{2}
$$
Запишем ЗСЭ:
$$
\frac{\dot{x}^2}{2}+\frac{2}{5}x^{5/2}=E=\frac{2}{5}a^{5/2}
$$
Откуда
$$
\frac{dx}{dt}=\dot{x}=\sqrt{\frac{4}{5}(a^{5/2} - x^{5/2})}
$$
Значит период (как 4 четверть-периода):
$$
T=4 \int_0^{x_0} \frac{dx}{\sqrt{\frac{4}{5}(a^{5/2} - x^{5/2})}} = 2\sqrt{5} a^{-1/4} \int_0^{1} \frac{du}{\sqrt{(1 - u^{5/2})}}
$$