Logo
Logo

Колебания в сообщающихся сосудах

1  4.00 Определите возможные частоты малых гармонических колебаний системы возле нового положения равновесия.

Пусть $ x$ — сжатие пружины, а $ y $ — изменение уровня воды в том колене трубки, в котором находятся поршни. При движении воды в трубке на тело будет действовать сила инерции, которая равна $ F=-m \ddot{y}$, так что уравнение движения тела записывается как $ m \ddot{x}=-k x+m g-m \ddot{y} $.
Уравнение движения воды в трубке имеет вид $ \rho s l \ddot{y}=-2 \rho s g y+k x $
Новое положение равновесия определяется условиями $ x=x_{0}= \mathrm{const}$ и $ y=y_{0}= \mathrm{const}$, так что подстановка в уравнения движения дает
$$
x_{0}=\frac{m g}{k} \\
y_{0}=\frac{k x_{0}}{2 \rho g s}=\frac{m}{2 \rho s}
$$
По условию сказано, что система совершает гармонические колебания около нового положения равновесия, поэтому ищем решение уравнений движения в следующем виде
$$ x=x_{0}+A \cos \omega t \\
y=y_{0}+B \cos \omega t
$$
и после подстановки получаем следующую систему уравнений
$$
A\left(\omega_{1}^{2}-\omega^{2}\right)=B \omega^{2} \\
A \omega_{3}^{2}=B\left(\omega_{2}^{2}-\omega^{2}\right)
$$
где $ \omega_{1}^{2}=\cfrac{k}{m}, \omega_{2}^{2}=\cfrac{2 g}{l}, \omega_{3}^{2}=\cfrac{k}{\rho s l} $
Решая совместно, получаем квадратное уравнение для возможных частот колебаний
\[
\left(\omega_{1}^{2}-\omega^{2}\right)\left(\omega_{2}^{2}-\omega^{2}\right)=\omega^{2} \omega_{3}^{2}
\]
которое имеет решения
\[
\omega_{1,2}^{2}=\frac{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2} \pm \sqrt{\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)^{2}-4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}}}{2}
\]
Отметим, что оба корня всегда являются положительными и дают следующие возможные частоты гармонических колебаний

Ответ: $$
\omega_{1}=\sqrt{\frac{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}-\sqrt{\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)^{2}-4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}}}{2}}=5.19 \text{с}^{-1}\\
\omega_{2}=\sqrt{\frac{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}+\sqrt{\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)^{2}-4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}}}{2}}=12.07 \text{с}^{-1}\\

$$

В реальности движение системы будет представлять собой сложение гармонических колебаний с найденными частотами.