Logo
Logo

Пластина на поверхности жидкости

1  3.00 Найдите максимальную массу груза $m$, которую можно поставить на пластинку, чтобы она не утонула. Считайте, что под весом груза пластинка не прогибается.

Пластинка имеет объем
\[
V=a^{2} h
\]
и на нее действует сила тяжести
\[
F_{p}=\rho V g
\]
В месте контакта пластинки и воды возникает разность уровней воды \( H, \) как показано на рисунке.

В результате на нижнюю поверхность пластинки площадью \( S=a^{2} \) действует разность давлений \( \Delta p=\rho_{0} g(H+h) \), что приводит к появлению направленной вертикально вверх силы \( F=\Delta p S \). Для определения величины \( H \) выделим некоторый объем воды шириной \( l \) вблизи ее контакта с пластинкой. На него действует сила поверхностного натяжения, равная \( F_{\sigma}=2 \sigma l \) а также сила, обусловленная давлением столба жидкости \( F_{\bar{p}}=\bar{p} \Delta S \), где среднее давление записывается как
\[
\bar{p}=\frac{1}{2} \rho_{0} g H
\]
при площади сечения \( \Delta S=H l \)
Из условия равновесия воды
\[
F_{\sigma}=F_{\bar{p}}
\]
следует, что перепад высот равен \( H=2 \sqrt{\cfrac{\sigma}{\rho_{0} g}} \)
На дополнительный груз на пластинке действует сила тяжести, равная \( F_{m}=m g \)
и из условия равновесия \( F_{p}+F_{m}=F \) находим массу груза

Ответ: \( m=\left(\rho_{0}-\rho\right) a^{2} h+2 a^{2} \sqrt{\cfrac{\sigma \rho_{0}}{g}}=52.62 \text{г}\)