Logo
Logo

Термодинамика однокомпонентной плазмы

1  ?? Рассчитайте наименьшее расстояние $a$ между соседними ядрами.

__
$a=n^{-1/3}$ 0.20
Численное значение $a=8.51\cdot 10^{-12} \text{м}$ 0.20
2  ?? Покажите, что энергия ядер играет существенную роль в данных условиях. Для этого оцените отношение $\Gamma$ энергии взаимодействия соседних ядер к их тепловой энергии. Наличием нейтрализующего фона пренебречь.

__
$W_p=\cfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}$ 0.20
$E_T=k_B T$ 0.20
$\Gamma=\cfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0ak_BT}$ 0.20
Численное значение $\Gamma=111$ 0.20
3  ?? Рассчитайте объемную плотность заряда $\rho$ сферической ячейки в однокомпонентной модели плазмы.

__
$R=a/2$ 0.10
$V=\cfrac{4}{3}\pi R^3$ 0.10
$\rho=-\cfrac{6}{\pi}ne$ 0.20
Численное значение $\rho=-4.95\cdot 10^{14} \text{Кл/м}^3$ 0.20
4  ?? Рассчитайте разность потенциалов между двумя точками сферической ячейки, расположенными на расстоянии $a/2$ и $a/4$.

__
$\oint_S \vec E\cdot d\vec S=\cfrac{Q}{\varepsilon_0}$ 0.20
$\oint_S \vec E\cdot d\vec S=4\pi r^2E$ 0.20
$Q=e+\rho\cfrac{4}{3}\pi r^3$ 0.20
$E=\cfrac{e}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}+\cfrac{\rho r}{3 \varepsilon_{0}}$ 0.20
$\varphi(a / 4)-\varphi(a / 2)=-\int_{a / 2}^{a / 4} E d r$ 0.20
$\varphi(a / 4)-\varphi(a / 2)=\cfrac{5e}{16\pi\varepsilon_0 a}$ 0.20
$\varphi(a / 4)-\varphi(a / 2)=211 \text{В}$ 0.20
5  ?? Рассчитайте частоту малых колебаний ядер $\omega_p$ возле положения равновесия в сферической ячейке.

__
$m \ddot{r}=\cfrac{e \rho}{3 \varepsilon_{0}} r$ 0.20
$\omega_{p}=\sqrt{\cfrac{2 n e^{2}}{\pi m_{p} \varepsilon_{0}}}$ 0.20
Численное значение $\omega_p=2.94\cdot 10^{16} \text{с}^{-1}$ 0.20
6  ?? При заданной температуре плазмы оцените среднеквадратичную амплитуду $A$ колебаний ядер вблизи положения их равновесия.

__
$v=\sqrt{\cfrac{k_{B} T}{m_{p}}}$ 0.20
$A=\cfrac{\nu}{\omega_p}$ 0.20
Численное значение $A=2.85\cdot 10^{-13} \text{м}$ 0.20
7  ?? Внутренняя энергия $U$ однокомпонентной плазмы объемом $V$, содержащей $N$ сферических ячеек, имеет вид
$$
U=\alpha_1 N+\alpha_2\cfrac{N^{4/3}}{V^{1/3}}.
$$
Найдите постоянные $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

__
$dq=4\pi r^2\rho dr$ 0.20
$W_1=-\cfrac{3e^2}{4\pi\varepsilon_0 a}$ 0.20
$w=\cfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ 0.20
$W_2=\cfrac{3e^2}{10\pi\varepsilon_0 a}$ 0.20
$W=-\cfrac{9e^2}{20\pi\varepsilon_0 a}$ 0.20
$E=3Nk_B T$ 0.20
$U=E+N W=3 N k_{B} T-\cfrac{9 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \cfrac{N^{4 / 3}}{V^{1 / 3}}$ 0.20
$\alpha_1=3k_B T$ 0.20
$\alpha_2=-\cfrac{9e^2}{20\pi\varepsilon_0}$ 0.20
8  ?? Рассчитайте снижение кулоновского барьера $\delta U_c$ для слияния двух ячеек ядер дейтерия при заданных условиях.

__
$W=-\cfrac{9 e^{2} n^{1 / 3}}{20 \pi \varepsilon_{0}}$ 0.20
$V'=2V$ 0.20
$e'=2e$ 0.20
$W^{\prime}=-2^{5 / 3} \cfrac{9 e^{2} n^{1 / 3}}{20 \pi \varepsilon_{0}}$ 0.20
$\delta U_{c}=\cfrac{\left(2^{2 / 3}-1\right) 9 e^{2} n^{1 / 3}}{10 \pi \varepsilon_{0}}$ 0.20
Численное значение $\delta U_c=5.72\cdot 10^{-17} \text{Дж}$ 0.20
9  ?? Используя приведенный выше цикл, выразите производную внутренней энергии по объему при фиксированной температуре $\left(\cfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T$ через производную давления по температуре при фиксированном объеме $\left(\cfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V$, а также температуру $T$ и давление $P$ системы.

__
$A=\left(\cfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}\left(T_{A B}-T_{C D}\right)\left(V_{B}-V_{A}\right)$ 0.20
$U_{B}-U_{A}=\left(\cfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\left(V_{B}-V_{A}\right)$ 0.20
$Q=U_B-U_A+P(V_B-V_A)$ 0.20
$\cfrac{A}{Q}=\cfrac{T_{AB}-T_{CD}}{T_{AB}}$ 0.20
$\left(\cfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=T\left(\cfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P$ 0.20
10  ?? Давление $P$ однокомпонентной плазмы объемом $V$, содержащей $N$ сферических ячеек, имеет вид
$$
P=\beta_1\cfrac{N}{V}+\beta_2\left(\cfrac{N}{V}\right)^{\beta_3}.
$$
Найдите постоянные $\beta_1, \beta_2$ и $\beta_3$. Рассчитайте численное значение давления при заданных в условии задачи значениях параметров плазмы.

__
$T\left(\cfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P=\cfrac{3 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \cfrac{N^{4 / 3}}{V^{4 / 3}}$ 0.20
$P(T, V)=C(V) T-\cfrac{3 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \cfrac{N^{4 / 3}}{V^{4 / 3}}$ 0.20
$\left.P(T, V)\right|_{e \rightarrow 0}=\cfrac{N k_{B} T}{V}$ 0.20
$P(T, V)=\cfrac{N k_{B} T}{V}-\cfrac{3 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \cfrac{N^{4 / 3}}{V^{4 / 3}}$ 0.20
$\beta_1=k_BT$ 0.20
$\beta_2=-\cfrac{3e^2}{20\pi\varepsilon_0}$ 0.20
$\beta_3=\cfrac{4}{3}$ 0.20
Численный ответ $P=-2.59\cdot 10^{16} \text{Па}$ 0.20