Logo
Logo

Термодинамика однокомпонентной плазмы

1  ?? Рассчитайте наименьшее расстояние $a$ между соседними ядрами.

Наименьшее расстояние между соседними ядрами дейтерия совпадает с ребром куба, а так как на 1 куб приходится 1 ядро, то их концентрация равна
\[
n=\frac{1}{a^{3}}
\]
откуда следует

Ответ: $a=\cfrac{1}{\sqrt[3]{n}}=8.51 \cdot 10^{-12} \text{м}$

2  ?? Покажите, что энергия ядер играет существенную роль в данных условиях. Для этого оцените отношение $\Gamma$ энергии взаимодействия соседних ядер к их тепловой энергии. Наличием нейтрализующего фона пренебречь.

Электростатическая энергия взаимодействия двух ядер, находящихся на расстоянии \( a \) друг от друга равна
\[
W_{p}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a},
\]
а их тепловая энергия находится по формуле
\[
E_{T}=k_{B} T
\]
откуда искомое отношение получается в виде

Ответ: $
\Gamma=\cfrac{W_{p}}{E_{T}}=\cfrac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a k_{B} T}=111
$

3  ?? Рассчитайте объемную плотность заряда $\rho$ сферической ячейки в однокомпонентной модели плазмы.

В целом сферическая ячейка является нейтральной, а ее радиус равен
$R=a / 2$ и объем $V=\cfrac{4}{3} \pi R^{3}$, поэтому объемная плотность заряда равна
\[
\rho=-\frac{e}{V}=-\frac{6 e}{\pi a^{3}}
\]

Ответ: $\rho=-\cfrac{6}{\pi} n e=-4.95 \cdot 10^{14} \text{Кл/м}^3$

4  ?? Рассчитайте разность потенциалов между двумя точками сферической ячейки, расположенными на расстоянии $a/2$ и $a/4$.

Запишем теорему Гаусса
\[
\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}
\]
для сферы радиуса \( r \) с центром в месте расположения ядра. Поток вектора напряженности электрического поля \( E \) через эту сферу в силу симметрии равен
\[
\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S}=E 4 \pi r^{2}
\]
а полный заряд \( Q \) внутри этой сферы составляет
\[
Q=e+\rho \frac{4}{3} \pi r^{3}
\]
Из уравнений выше находим
\[
E=\frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}+\frac{\rho r}{3 \varepsilon_{0}}
\]
а искомая разность потенциалов определяется выражением
\[
\varphi(a / 4)-\varphi(a / 2)=-\int_{a / 2}^{a / 4} E d r
\]
откуда получаем

Ответ: $
\varphi(a / 4)-\varphi(a / 2)=\cfrac{5 e}{16 \pi \varepsilon_{0} a}=211 \text{B}
$

5  ?? Рассчитайте частоту малых колебаний ядер $\omega_p$ возле положения равновесия в сферической ячейке.

Второй член в правой части выражения для напряженности определяет напряженность электрического поля, создаваемого однородным распределением заряда, поэтому уравнение движения ядра в проекции на радиальное направление имеет вид
\[
m \ddot{r}=\frac{e \rho}{3 \varepsilon_{0}} r
\]
то есть представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой
\[
\omega_{p}=\sqrt{-\frac{e \rho}{3 m_{p} \varepsilon_{0}}}=\sqrt{\frac{2 e^{2}}{\pi m_{p} \varepsilon_{0} a^{3}}}=\sqrt{\frac{2 n e^{2}}{\pi m_{p} \varepsilon_{0}}}
\]

Ответ: $
\omega_{p}=\sqrt{\cfrac{2 n e^{2}}{\pi m_{p} \varepsilon_{0}}}=2.94 \cdot 10^{16} \text{с}^{-1}
$

6  ?? При заданной температуре плазмы оцените среднеквадратичную амплитуду $A$ колебаний ядер вблизи положения их равновесия.

При фиксированной температуре среднеквадратичная тепловая скорость ядра равна
\[
v=\sqrt{\frac{k_{B} T}{m_{p}}}
\]
а соответствующая амплитуда отклонения от положения равновесия определяется как
\[
A=\frac{v}{\omega_{p}}=2.85 \cdot 10^{-13} \text{м}
\]
Видно, что выполняется условие \( A \ll a, \) то есть ядра дейтерия действительно совершают малые колебания возле положения равновесия.

Ответ: $
A=\cfrac{v}{\omega_{p}}=2.85 \cdot 10^{-13} \text{м}
$

7  ?? Внутренняя энергия $U$ однокомпонентной плазмы объемом $V$, содержащей $N$ сферических ячеек, имеет вид
$$
U=\alpha_1 N+\alpha_2\cfrac{N^{4/3}}{V^{1/3}}.
$$
Найдите постоянные $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Внутренняя энергия системы складывается из тепловой энергии хаотического движения ядер и электростатической энергии каждой ячейки. В свою очередь, электростатическая энергия каждой ячейки состоит их энергии взаимодействия ядер с окружающим электронным нейтрализующим фоном и энергии самого фона.

Разобьем ячейку на сферические слои и рассмотрим слой, находящийся на расстоянии \( r \) от ядра и имеющий толщину \( d r . \) Его заряд равен
\[
d q=\rho 4 \pi r^{2} d r
\]
а соответствующая энергия взаимодействия с ядром равна
\[
W_{1}=\int_{0}^{R} \frac{e d q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}=-\frac{3 e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a}
\]
Плотность энергии электрического поля находится по формуле
\[
w=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2}
\]
а так как напряженность электрического поля однородного фона определяется вторым слагаемым в выражении из пункта 2.5, а снаружи сферы имеет вид как у точечного заряда, который формально совпадает с первым членом формулы для напряженности, то отсюда определяется электростатическая энергия самого однородного фона
\[
W_{2}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \int_{0}^{R}\left(\frac{\rho r}{3 \varepsilon_{0}}\right)^{2} 4 \pi r^{2} d r+\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \int_{R}^{\infty}\left(\frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}\right)^{2} 4 \pi r^{2} d r=\frac{3 e^{2}}{10 \pi \varepsilon_{0} a}
\]
Таким образом, полная электростатическая энергия одной ячейки записывается как
\[
W=W_{1}+W_{2}=-\frac{9 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0} a}
\]
и равна работе, которую необходимо совершить для ее создания. Как было показано выше, ядро в центре ячейки представляет собой трехмерный гармонический осциллятор, поэтому тепловая хаотическая энергия равна
\[
E=3 N k_{B} T
\]
а значит внутренняя энергия \( N \) ячеек имеет вид
\[
U=E+N W=3 N k_{B} T-\frac{9 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \frac{N^{4 / 3}}{V^{1 / 3}}
\]
Таким образом, искомые постоянные равны

Ответ: $\alpha_{1}=3 k_{B} T\\
\alpha_{2}=-\cfrac{9 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}}$

8  ?? Рассчитайте снижение кулоновского барьера $\delta U_c$ для слияния двух ячеек ядер дейтерия при заданных условиях.

В отсутствии нейтрализующего окружающего фона у каждого из ядер их сближение соответствует наличию самого кулоновского барьера. Наличие нейтрализующего окружения приводит к снижению кулоновского барьера, которое, очевидно, определяется взаимодействием ядер с самим окружением и собственной энергией окружения. Тепловая энергия ядер при этом остается малой по сравнению со снижением барьера. Каждая из двух ячеек до слияния имела электростатическую энергию \( W=-\cfrac{9 e^{2} n^{1 / 3}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \). После слияния образуется новая ячейка объемом \( V^{\prime}=2 V \) с ядром гелия в центре, имеющем электрический заряд \( e^{\prime}=2 e \).
В соответствии с общей формулой, электростатическая энергия образовавшейся ячейки равна
\[
W^{\prime}=-2^{5 / 3} \cfrac{9 e^{2} n^{1 / 3}}{20 \pi \varepsilon_{0}}
\]
откуда получается следующее выражение для снижения кулоновского барьера
\[
\delta U_{c}=2 W-W^{\prime}=\frac{\left(2^{2 / 3}-1\right) 9 e^{2} n^{1 / 3}}{10 \pi \varepsilon_{0}}=5.72 \cdot 10^{-17} \text {Дж }
\]

Ответ: $
\delta U_{c}=\cfrac{\left(2^{2 / 3}-1\right) 9 e^{2} n^{1 / 3}}{10 \pi \varepsilon_{0}}=5.72 \cdot 10^{-17} \text {Дж }
$

9  ?? Используя приведенный выше цикл, выразите производную внутренней энергии по объему при фиксированной температуре $\left(\cfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T$ через производную давления по температуре при фиксированном объеме $\left(\cfrac{\partial P}{\partial T}\right)_V$, а также температуру $T$ и давление $P$ системы.

Круговой процесс ABCD представляет собой цикл Карно. Обозначим температуру на изотерме \( A B \) как \( T_{A B}, \) а на изотерме \( T_{C D}, \) при этом они очень мало отличаются друг от друга, так \( T_{A B} \approx T_{C D} \approx T \) и \( T_{A B}-T_{C D} \ll T . \) Работа \( A, \) совершаемая в круговом равна площади параллелограмма \( A B C D, \) которая равна площади параллелограмма \( A B E F . \) Так как \( A F=(\partial P / \partial T)_{V}\left(T_{A B}-T_{C D}\right), \) то работа в цикле равна
\[
A=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}\left(T_{A B}-T_{C D}\right)\left(V_{B}-V_{A}\right)
\]
В процессе \( A B \) температура постоянная, поэтому изменение внутренней энергии равно
\[
U_{B}-U_{A}=\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}\left(V_{B}-V_{A}\right),
\]
а значит сообщенное количество теплоты по первому началу термодинамики принимает вид
\[
Q=U_{B}-U_{A}+P\left(V_{B}-V_{A}\right)
\]
Так как процесс \( A B C D \) представляет собой цикл Карно, то его КПД равен
\[
\frac{A}{Q}=\frac{T_{A B}-T_{C D}}{T_{A B}}
\]
и комбинируя 4 уравнения выше, получаем искомое соотношение
\[
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P.
\]

Ответ: $
\left(\cfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=T\left(\cfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P
$

10  ?? Давление $P$ однокомпонентной плазмы объемом $V$, содержащей $N$ сферических ячеек, имеет вид
$$
P=\beta_1\cfrac{N}{V}+\beta_2\left(\cfrac{N}{V}\right)^{\beta_3}.
$$
Найдите постоянные $\beta_1, \beta_2$ и $\beta_3$. Рассчитайте численное значение давления при заданных в условии задачи значениях параметров плазмы.

Подставляя формулу из п. 7 в уравнение из п. 9, получаем дифференциальное уравнение первого порядка
\[
T\left(\cfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P=\cfrac{3 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \cfrac{N^{4 / 3}}{V^{4 / 3}}
\]
решение которого имеет вид
\[
P(T, V)=C(V) T-\cfrac{3 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \cfrac{N^{4 / 3}}{V^{4 / 3}}
\]
где \( C(V) \) — некоторая постоянная, которая в принципе может зависеть от объема системы.
В отсутствие взаимодействия между ядрами давление системы должно сводиться к давлению идеального газа
\[
\left.P(T, V)\right|_{e \rightarrow 0}=\cfrac{N k_{B} T}{V}
\]
откуда сразу находим
\[
P(T, V)=\cfrac{N k_{B} T}{V}-\cfrac{3 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \cfrac{N^{4 / 3}}{V^{4 / 3}}
\]
Таким образом, искомые постоянные равны
$$
\beta_{1}=k_{B} T \\
\beta_{2}=-\cfrac{3 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \\
\beta_{3}=\cfrac{4}{3}
$$
Подставляя численные значения, получаем для давления величину \( P=-2,59 \cdot 10^{16} \text{Па}\). Давление оказалось отрицательным! На самом деле давление всей системы включает в себя давление электронной компоненты, и оно положительное.

Ответ: $
\beta_{1}=k_{B} T \\
\beta_{2}=-\cfrac{3 e^{2}}{20 \pi \varepsilon_{0}} \\
\beta_{3}=\cfrac{4}{3} \\
P=-2,59 \cdot 10^{16} \text{Па}
$