При проектировании лазерной системы наведения необходимо учитывать неоднородность показателя преломления воздуха. Из-за влияния различных факторов, таких как состояние поверхности, высота, температура, влажность и плотность воздуха, показатель преломления в разных точках может различаться, и тогда свет не будет двигаться по прямой. Предположим, что показатель преломления воздуха $n$ изменяется с высотой $y$ следующим образом: $$n(y)= n_0 + \alpha y,$$где $n_0$ — показатель преломления при $y=0$, $n_0 > 0$, $\alpha > 0$ — известные константы. Время распространения лазера мало. Лазер находится в начале координат $O$, как показано на рисунке.

1 Если изначальный угол между лазерным лучом и вертикальной осью равен $\theta_0$ ($0 \leq \theta_0 \leq \frac{\pi}{2}$), найдите уравнение, которое описывает распространение луча.

A

2 Пусть цель $A$ находится в первом квадранте. Если её высота равна $y_a$, найдите максимальное значение $x_{a\,max}$ координаты $x$ цели, которую может поразить лазер.

A

3 Лазерное поражение цели требует определенного времени воздействия. Если цель $A$ находится в зоне поражения лазера, её начальное положение равно $(x_0, y_0)$, и цель приближается к лазеру с постоянной горизонтально направленной скоростью $v$, как должен изменяться угол $\theta_0$ со временем $t$, чтобы луч всегда попадал в цель?

A

4 Лазерные атаки обычно следуют принципу безопасного уничтожения, то есть самолёт-цель $A$ должен быть уничтожен, и все сброшенные им бомбы не должны поражать лазер. Бомба при сбрасывании неподвижна относительно $A$. Как только $A$ входит в зону поражения лазера, тот сразу же начинает его облучать. Высота полёта $A$ равна $y_a$, а продолжительность воздействия, необходимого для уничтожения $A$, равна $t_a$. Ускорение свободного падения равно $g$, сопротивлением воздуха можно пренебречь. Найдите диапазон скоростей $A$, при которых лазер сможет его уничтожить.

A