Стивен Чу и ещё трое других ученых в 1997 году получили Нобелевскую премию по физике за разработку метода магнитооптического захвата нейтральных атомов. Основные аспекты магнитооптического захвата будут рассмотрены в этой задаче.

$\textit{Примечание}$: Важно понимать, что физические характеристики рассматриваемых атомов на самом деле представляют собой результат усреднения по большому числу атомов или по нескольких процессам для одного атома.

Как показано на рисунке (a) слева, неподвижный атом в основном состоянии резонансно поглощает фотон с частотой $\nu_0$ и переходит в первое возбужденное состояние. Однако из-за теплового движения атомы не находятся в состоянии покоя. Предположим, что некий атом движется со скоростью $v_0$ в направлении, противоположном направлению распространения лазерного луча.

1  ^6.00 При какой частоте лазера $\nu$ теперь возможно резонансное поглощение? Насколько изменится скорость атома после поглощения фотона? ($h \nu_0 \ll mc^2$, $m$ — масса атома, $h = 6.63 \cdot 10^{-34}~\text{Дж}\cdot\text{с}$)

Резонансное поглощение фотона атомом происходит мгновенно, но перешедший в возбуждённое состояние атом обычно возвращается в основное состояние не сразу, а лишь через определённый промежуток времени, который называется временем жизни атома в возбуждённом состоянии. Известно, что среднее время жизни атома в первом возбуждённом состоянии равно $\tau$.

$\textit{Примечание}$: атом имеет одинаковую вероятность испустить фотон в любое направление при переходе обратно в основное состояние. Из-за очень высокой частоты столкновений среднее изменение импульса атома в этом процессе равно нулю.

2  ^3.00 Пусть атом находится в тех же условиях, что и в п. 1, и каждый раз испытывает резонансное поглощение сразу же после того, как возвращается в основное состояние. Найдите среднее ускорение атома.

Предположим, что атом движется в положительном направлении оси $Oz$ с начальной скоростью $v_0$, а лазерный луч направлен в противоположную сторону, вызывая резонансное поглощение. Чтобы уменьшить кинетическую энергию атома до нуля за счёт последовательных поглощений при постоянной частоте лазера, атом можно пропустить через неоднородное магнитное поле $B(z)$, как показано на рисунке (b). Из-за взаимодействия атомов с магнитным полем энергия их возбуждённого состояния изменяется, как показано на рисунке (a) справа. Когда индукция магнитного поля равна $B$, энергия возбуждения атома изменяется как $E \to E + \Delta E$, где $\Delta E = \mu B$, $\mu$ — известная константа.

3  ^9.00 Найдите зависимость $B(z)$.

Начальная скорость исследуемого атома лития с массой $m = 1.0 \cdot 10^{-26}~\text{кг}$ равна $v_0 = 1.2 \cdot 10^3~\frac{\text{м}}{\text{с}}$, частота резонансного поглощения в состоянии покоя составляет $\nu_0 = 4.5 \cdot 10^{14}~\text{Гц}$, а среднее время жизни атома в первом возбуждённом состоянии равно $\tau = 5.3 \cdot 10^{-8}~\text{с}$.

4  ^2.00 Найдите минимальную длину $z$, которую должна иметь область магнитного поля, через которую проходит атом, описанный в п. 3, чтобы его кинетическая энергия уменьшилась до нуля.