Hyperloop — это технология, дающая возможность быстрой транспортировки обтекаемого транспортного средства вдоль горизонтальной трубы, как показано на рисунке (a). Транспортировка происходит с использованием так называемой воздушной подушки, то есть в процессе движения происходит выброс газа под большим давлением из небольших отверстий в нижней половине транспортного средства, как показано на рисунке (b). Его поперечное сечение представляет собой круг радиуса $R$, отверстия на нижней половине распределены равномерно, их количество на единицу площади равно $n$ ($n \geq 1$), площадь одного отверстия равна $s$. Длина транспортного средства равна $l$, а масса равна $M$. Считайте, что поток газа подчиняется уравнению Бернулли, температура газа постоянна, а его давление на выходе равно давлению окружающей среды $P_{low}$. Как показано на рисунке (c), в трубе закреплены две параллельные направляющие, ответственные за электропитание, а на транспортном средстве закреплены два провода, перпендикулярные направляющим. Направляющие имеют радиус $r_d$ и удельное сопротивление $\rho_d$, расстояние между ними равно $2 \left( D + r_d \right)$; толщиной проводов можно пренебречь, расстояние между ними $D$, сопротивление каждого провода в два раза больше сопротивления направляющей той же длины. Направляющие и провода находятся в горизонтальной плоскости, сопротивлением их контакта можно пренебречь.

1  ^4.00 При каком давлении газа $P$ транспортное средство может оторваться от земли?

Как показано на рисунке (d), когда транспортное средство попадает на станцию со скоростью $v_0$, оно входит в область направленного вертикально вниз однородного магнитного поля с индукцией $B$, граница которого параллельна проводу.

2  ^7.00 Найдите, с какой скоростью $v$ будет двигаться транспортное средство к моменту, когда оба провода окажутся в магнитном поле.

Перед тем, как транспортное средство покидает станцию, к направляющим подключают источник постоянного напряжения $\mathcal E$ на расстоянии $D$ за проводом 2, как показано на рисунке (e).

3  ^9.00 Пренебрегая массой источника и сопротивлением подключенных к нему проводов, найдите ускорение $a$ транспортного средства сразу после подключения источника.

$\textit{Примечание:}$ Магнитное поле на расстоянии $r_0$ от цилиндрического провода равно\[B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r_{0}}\left(\cos \theta_{1}+\cos \theta_{2}\right),\]где $\theta_1$ и $\theta_2$ — углы между перпендикуляром к проводу и направлениями на его концы.

Можно пользоваться формулой для следующего интеграла:$$\int_{a}^{b} \frac{1}{x} \frac{c}{\sqrt{x^{2}+c^{2}}} \mathrm{~d} x = \ln \left(\frac{b}{a} \frac{c+\sqrt{c^{2}+a^{2}}}{c+\sqrt{c^{2}+b^{2}}}\right),$$где $a$, $b$ и $c$ — положительные числа.