Общая теория относительности Эйнштейна предсказывает, что перераспределение плотности материи вызывает возмущение метрики пространства-времени, выражающееся в виде гравитационных волн. Для простоты будем рассматривать волну, распространяющуюся вдоль оси $Oz$. Для любого фиксированного $z$ дифференциал расстояния $dr$ между двумя точками с координатами $(x, y)$ и $(x + dx, y+dy)$ задаётся формулой:$$\mathrm{d} r=\sqrt{\left(1+f_{1}\right)(\mathrm{d} x)^{2}+f_{2}(\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\mathrm{d} y \mathrm{~d} x)+\left(1-f_{1}\right)(\mathrm{d} y)^{2}},$$где гравитационная волна представлена возмущениями $f_1$ и $f_2$.
Считайте, что плоские гравитационные волны представимы в виде:$$f_1 = A \sin{\left[
\omega \left( t - \frac{z}{c} \right) \right]},\, f_2 = 0,\, 0 < A \ll 1,$$где $A$ и $\omega$ — амплитуда и частота волны соответственно, $c$ — скорость света.