Атом позитрония $\text{Ps}$ представляет собой связанную квантовую систему из электрона $e^-$ и его античастицы позитрона $e^+$. По аналогии с атомом водорода, позитроний тоже подчиняется правилу квантования Бора, а именно суммарный орбитальный момент импульса электрона и позитрона должен квантоваться, то есть быть целым кратным постоянной Планка $h$. Ответы в этой задаче приводите с точностью до 4 значащих цифр.

1  ^3.00 Найдите энергию $E_{n=1}^{\text{Ps}}$ основного состояния позитрония.

Позитроний в основном состоянии нестабилен и быстро аннигилирует, образуя два фотона: $\text{Ps} \to \gamma_1 + \gamma_2$. Пусть аннигиляция происходит, когда атом позитрония находится в основном состоянии и движется с нерелятивистской скоростью в лабораторной системе отсчёта. Фотон $\gamma_1$ движется по углом $\theta_1$ относительно направления скорости атома, фотон $\gamma_2$ движется в обратном направлении, отклоняясь на угол $\Delta \theta$ от прямой, вдоль которой движется $\gamma_1$, как показано на рисунке.

2.1  ^9.00 Найдите выражение для скорости $v_0$ атома позитрония в основном состоянии. Вычислите её значение, а также значения энергий $E_1$ и $E_2$ фотонов $\gamma_1$ и $\gamma_2$ соответственно, если $\theta_1 = \frac{\pi}{3}$, $\Delta \theta = 3.464 \cdot 10^{-3}~\text{рад}$.

2.2  ^2.00 Найдите разность между энергиями $E_1$ и $E_2$ двух фотонов $\gamma_1$ и $\gamma_2$ соответственно и энергией электрона в покоящемся атоме позитрония.

Рассмотрим теперь атом позитрония, движущийся в лабораторной системе отсчёта с релятивистской скоростью $v_0$ и аннигилирующий из основного состояния. Найдите энергии $E_1$ и $E_2$ фотонов $\gamma_1$ и $\gamma_2$ соответственно.

3  ^6.00 Найдите соотношение между углами отклонения $\theta_1$ и $\theta_2$ от направления скорости атома фотонов $\gamma_1$ и $\gamma_2$. Вычислите $E_1$, $E_2$ и $\theta_2$, когда $v_0 = \frac{c}{2}$ и $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$.

$\textit{Примечание:}$ Известно, что энергия основного состояния атома водорода равна $E_{n=1}^H = -13.60~\text{эВ}$, масса покоя электрона равна $m_e = 0.5110~\text{МэВ}/\text{c}^2$, а отношение массы протона к массе электрона равно $\frac{m_p}{m_e}=1836$.