Как показано на рисунке, очень длинная нерастяжимая нить постоянной линейной плотности $\lambda$ продета через блок радиусом $R$, ось которого находится на высоте $L$ от пола. Изначально система находится в равновесии. В момент времени $t = 0$, блок мгновенно приобретает угловую скорость $\omega$, вращаясь против часовой стрелки, и сохраняет её потом. Коэффициент трения скольжения между нитью и блоков равен $\mu$. Это также приводит нить в движение. Подвешенные части нити остаются вертикальными в процессе движения, а её концы всегда остаются на полу. Натяжение нити слева и справа от блока обозначены $T_1$ и $T_2$ соответственно. Ускорение свободного падения равно $g$.

1  ^20.00 Запишите систему уравнений движения для каждой точки нити в трёх случаях: для частей нити, лежащих слева и справа об блока, и части нити, лежащей на блоке.

2  ^15.00 Найдите максимально возможную скорость $v_{max}$ движения нити в описанном процессе.

$\textit{Примечание}$: Можно воспользоваться следующими равенствами:$$\frac{dy}{dx} + \alpha y = e^{- \alpha x} \frac{d\left(ye^{\alpha x}\right)}{dx},$$ $$\int e^{\alpha x} \cos{x} dx = \frac{e^{\alpha x}}{1 + \alpha^2}(\alpha \cos{x} + \sin{x}) + C_1,$$ $$\int e^{\alpha x} \sin{x} dx = \frac{e^{\alpha x}}{1 + \alpha^2}(\alpha \sin{x} + \cos{x}) + C_2,$$ где $C_1$ и $C_2$ — константы интегрирования.