Как показано на рисунке, натянутая струна длины $L$ помещена вдоль оси $Ox$, и её левый конец находится в начале координат. Оба конца струны могут быть подключены к виброгенератору, инициирующему колебания вдоль оси $Oy$. Скорость распространения волн в струне равна $u$.

Пусть правый конец струны $P_2$ закреплён, а левый конец $P_1$ соединён с генератором. При установившихся колебаниях сдвиг на левом конце зависит от времени как $y(x = 0, t) = A_0 \cos{\omega t}$, где $A_0$ и $\omega$ — амплитуда и угловая частота колебаний соответственно.

1.1  ^10.00 Поперечные колебания перемещаются вдоль струны с декрементом затухания $\gamma>0$. Найдите амплитуду колебаний в произвольной точке струны, если для струны бесконечной длины соответствующие колебания имеют вид $y(x, t) = A e^{-\gamma x} \cos{\left( \omega t - \omega \frac{x}{u} + \varphi \right)}$, где $A$ и $\varphi$ — амплитуда и фаза колебаний в точке $x=0$ соответственно.

1.2  ^12.00 Теперь пренебрежём затуханием. Найдите уравнение стоячей волны в струне, а также положения её узлов и пучностей.

2  ^13.00 Теперь оба конца струны подключены к генератору, и сдвиги на концах $P_1$ и $P_2$ струны зависят от времени как $y(x=0,t) = A_0 \cos{\omega t}$ и $y(x=L,t) = A_0 \cos{\omega t + \varphi_0}$ соответственно. Пренебрегая затуханием, найдите уравнение волны в струне и запишите условие резонанса в случаях $\varphi_0 = 0$ и $\varphi_0 = \pi$.