Изолированный тонкостенный контейнер массы $M$ находится в открытом космосе вдали от небесных тел, космическое пространство можно считать вакуумом. Начальная скорость контейнера в выбранной инерциальной системе отсчёта равна нулю. Его объём равен $V$, изначально он заполнен $N_0$ молекулами одноатомного идеального газа, масса одной молекулы $m$, начальная температура газа $T_0$. В момент времени $t=0$ контейнер протыкают, создавая небольшую дыру площадью $S$. Контейнер начинает двигаться без вращения. Считайте, что газ в контейнере остаётся в равновесии в процессе утечки. Распределение Максвелла для $x$-компоненты скоростей молекул $v_x$ имеет вид:$$f(v_x)= \sqrt{\frac{m}{2\pi kT}} \exp{\left( -\frac{mv_x^2}{2kT} \right)},$$где $k$ — константа Больцмана.

1  ^6.00 Найдите количество $N_{leak}$ молекул, покидающих контейнер через единицу площади в единицу времени, выразите ответ через концентрацию молекул $n$ и температуру $T$ газа в этот момент.

2  ^6.00 Найдите среднюю кинетическую энергию $\bar E_k$ относительно контейнера покидающих его молекул, ответ выразите через температуру газа $T$ в этот момент.

3  ^15.00 Найдите зависимость $T(t)$ температуры газа от времени.

4  ^8.00 Найдите зависимость $u(t)$ скорости контейнера от времени.

$\textit{Примечание}$: Можно пользоваться интегралами:$$\int_0^{\infty} x e^{-Ax^2} dx = \frac{1}{2A},\quad \int_0^{\infty} x^2 e^{-Ax^2} dx = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{\pi}{A^3}},\quad \int_0^{\infty} x^3 e^{-Ax^2} dx = \frac{1}{2A^2}.$$