Поведение твёрдых тел зачастую бывает трудно моделировать привычными методами из-за их сложной внутренней структуры. Если необходимо рассматривать взаимодействие частиц, то проблему можно упростить, используя концепцию квазичастиц, для которых соотношение между импульсом и энергией может отличаться от такового у реальных частиц. В присутствии электромагнитных полей движение квазичастицы в твёрдом теле обычно разрешимо методами механики. Одна из разновидностей квазичастиц с эффективной массой $m$ и зарядом $q$ может существовать в двумерных граничных поверхностях, то есть движение таких частиц происходит только в плоскости $xOy$. Кинетическая энергия $K$ таких частиц выражается через модуль их импульса $p$ как $K = \frac{p^2}{2m} + \alpha p$, где $\alpha$ — положительная постоянная.

1  ^0.40 Кинетическая энергия $K$ реальной частицы выражается через модуль её импульса $p$ как $K = \frac{p^2}{2m}$. Выразите её скорость $\vec{v}$ через импульс $\vec{p}$, используя равенство $dK = \vec{F}\cdot d\vec{r}$.

2  ^0.50 С помощью того же метода выразите скорость квазичастицы $\vec{v}$ через её импульс $\vec{p}$.

3  ^0.40 Выразите $v = |\vec{v}|$ через $K$.

4  ^1.10 Предположим, что поверхность, на которой существуют квазичастицы, теперь помещена в сонаправленное с осью $Oz$ однородное магнитное поле $B$. Тогда квазичастица кинетической энергии $K$ будет совершать вращательное движение. Найдите радиус $R$ её траектории, период $T$ её вращения и значение $L$ момента импульса частицы.

5  ^1.10 Теперь магнитное поле заменено на однородное электрическое с напряжённостью $E$, сонаправленное с осью $Ox$. Найдите составляющие $a_x$ и $a_y$ ускорения квазичастицы, скорость которой направлена под углом $\theta$ к электрическому полю. Не забывайте, что составляющая ускорения, перпендикулярная электрическому полю, может быть ненулевой.