Pho.rs: Квазичастицы

1 ^4.00 Кинетическая энергия $K$ реальной частицы выражается через модуль её импульса $p$ как $K = \frac{p^2}{2m}$. Выразите её скорость $\vec{v}$ через импульс $\vec{p}$, используя равенство $dK = \vec{F}\cdot d\vec{r}$.

Ответ: $$\vec{v} = \frac{\vec{p}}{m}.$$

2 ^5.00 С помощью того же метода выразите скорость квазичастицы $\vec{v}$ через её импульс $\vec{p}$.

Ответ: $$\vec{p} = \frac{\vec{p}}{m} + \alpha \hat{p},$$где $\hat{p}$ — единичный вектор в направлении импульса.

3 ^4.00 Выразите $v = |\vec{v}|$ через $K$.

Ответ: $$v = \sqrt{\alpha^2 + \frac{2K}{m}}.$$

4 ^11.00 Предположим, что поверхность, на которой существуют квазичастицы, теперь помещена в сонаправленное с осью $Oz$ однородное магнитное поле $B$. Тогда квазичастица кинетической энергии $K$ будет совершать вращательное движение. Найдите радиус $R$ её траектории, период $T$ её вращения и значение $L$ момента импульса частицы.

Ответ: $$R = \frac{-m \alpha + \sqrt{m^2 \alpha^2 + 2mK}}{qB},\\T = \frac{2\pi \left( -m \alpha + \sqrt{m^2 \alpha^2 + 2mK} \right)}{qB \sqrt{\alpha^2 + \frac{2K}{m}}},\\L = \frac{2m^2 \alpha^2 + 2mK - 2m \alpha \sqrt{m^2 \alpha^2 + 2mK}}{qB}.$$

5 ^11.00 Теперь магнитное поле заменено на однородное электрическое с напряжённостью $E$, сонаправленное с осью $Ox$. Найдите составляющие $a_x$ и $a_y$ ускорения квазичастицы, скорость которой направлена под углом $\theta$ к электрическому полю. Не забывайте, что составляющая ускорения, перпендикулярная электрическому полю, может быть ненулевой.

Ответ: $$a_x = \frac{qE}{m} + \frac{qE}{m} \frac{\alpha \sin^2{\theta}}{v - \alpha},\ a_y = -\frac{qE}{m} \frac{\alpha \cos{\theta} \sin{\theta}}{v - \alpha}.$$

Квазичастицы

Решение