В космосе находится аппарат, который удерживается над земным экватором на высоте $L = \alpha R_e$ и остаётся неподвижным относительно наземной станции. Здесь $R_e$ — радиус Земли, $\alpha$ — постоянная, причём $\alpha > \alpha_m$, где$$\alpha_m = \left( \frac{GM_e}{\omega_e^2 R_e^3} \right)^{1/3} - 1,$$$M_e$ и $\omega_e$ — масса Земли и угловая скорость её вращения, $G$ — гравитационная постоянная. Предположим, что между аппаратом и станцией существует жёсткая однородная труба массы $m_p$, служащая для транспортировки материалов. Нижний конец трубы закреплён и перпендикулярен поверхности земли. При транспортировке материал движется по трубе вверх с относительно небольшой скоростью. При решении задачи учитывайте только вращение Земли вокруг своей оси. Общая масса транспортируемого материала равна $m$ и мала по сравнению с массой трубы.

1  ^6.00 Какую работу $W_L$ совершают сила притяжения и центробежная сила в процессе транспортировки материала?

2  ^6.00 Какую минимальную работу $W_{min}$ совершает внешняя сила тяги в процессе транспортировки материала?

3  ^4.00 При какой высоте $L_0$ аппарата над Землёй работа $W_L$ окажется равной нулю?

4  ^9.00 Сила тяги, удерживающая аппарат на орбите, подбирается так, чтобы сила реакции, с которой он действует на пустую трубу, равнялась нулю. Если аппарат находится на высоте $L$, найдите величину и направление силы $F_{base}$, с которой на трубу необходимо действовать со стороны наземной станции, в трёх случаях: $L>L_0$, $L=L_0$ и $\alpha_m R_e < L < L_0$.