Pho.rs: Космический трубопровод

1 ^6.00 Какую работу $W_L$ совершают сила притяжения и центробежная сила в процессе транспортировки материала?

Ответ: $$W_L = \frac{1}{2}\alpha(\alpha + 2)m\omega_e^2R_e^2.$$

2 ^6.00 Какую минимальную работу $W_{min}$ совершает внешняя сила тяги в процессе транспортировки материала?

Ответ: $$W_{min} = \frac{GM_em}{R_e} + \frac{1}{2}m\omega_e^2R_e^2 - \frac{3}{2}m\left(
GM_e\omega_e \right)^{2/3}.$$

3 ^4.00 При какой высоте $L_0$ аппарата над Землёй работа $W_L$ окажется равной нулю?

Ответ: $$\alpha_0 = \frac{R_e}{2} \left[ -3+ \left( 1 + \frac{8GM_e}{\omega_e^2 R_e^3} \right)^{1/2} \right].$$

4 ^9.00 Сила тяги, удерживающая аппарат на орбите, подбирается так, чтобы сила реакции, с которой он действует на пустую трубу, равнялась нулю. Если аппарат находится на высоте $L$, найдите величину и направление силы $F_{base}$, с которой на трубу необходимо действовать со стороны наземной станции, в трёх случаях: $L>L_0$, $L=L_0$ и $\alpha_m R_e < L < L_0$.

Ответ: Если $L>L_0$, то сила направлена вниз и равна
$$F_{base} = -\frac{GM_em_p}{(\alpha + 1)R_e^2} + \frac{1}{2} (\alpha + 2) m_p \omega_e^2 R_e^2;$$
если $L = L_0$, то $F_{base} = 0$;
если $\alpha_mR_e < L < L_0$, то сила направлена вверх и равна
$$F_{base} = \frac{GM_em_p}{(\alpha + 1)R_e^2} - \frac{1}{2} (\alpha + 2) m_p \omega_e^2 R_e^2.$$

Космический трубопровод

Решение