Когда два проводящих шарика в электрическом поле находятся близко друг к другу, поле между ними сильно возрастает. Это явление будет подробно исследовано в данной задаче. Диэлектрическая проницаемость вакуума равна $\varepsilon_0$.
1
Предположим, что заряд $Q$ находится на расстоянии $a$ от центра проводящей сферы радиуса $R_0$ ($a>R_0$). Найдите положение и величину зеркального заряда.
2
Пусть проводящая сфера находится в однородном электрическом поле напряжённостью $E_0$. Такое поле можно рассматривать как поле, создаваемое посередине между двумя удалёнными друг от друга точечными зарядами равной величины и противоположного знака $\pm Q$. Покажите, что индуцированное в проводящей сфере поле эквивалентно полю диполя, и найдите связь между соответствующим дипольным моментом $p$ и напряжённостью $E_0$.
3
Пусть теперь два точечных заряда противоположного знака $\pm q$ разделены расстоянием $\Delta l$ и образуют диполь, момент $q\Delta \vec{l}$ которого лежит в радиальном направлении проводящей сферы. Сфера имеет радиус $R_0$, расстояние от неё до диполя равно $r$ ($r \gg \Delta l$). Найдите величину индуцированного на сфере дипольного момента $p$.
4
Во внешнем однородном электрическом поле напряжённостью $E_0$ находятся две проводящие сферы радиусом $R_0$ на расстоянии $r$ друг от друга ($r>2R_0$), а линия, соединяющая их центры, сонаправлена с напряжённостью. Выбрав систему координат так, чтобы эта линия лежала на оси $Ox$, а её середина совпадала с началом координат $O$, найдите величину потенциала $\varphi(x, y)$ в каждой точке плоскости, проходящей через ось $Ox$, и напряжённость поля в каждой точке оси $Ox$.
5
Покажите, что при дальнейшем приближении сфер друг к другу напряжённость поля в точке между ними будет стремиться к бесконечности.
