Квантовая тепловая машина — это тепловая машина, использующая в качестве рабочего тела вещество с квантовыми свойствами. Принцип работы такой машины описан в этой задаче на примере двухуровневой атомной системы. Средняя энергия двухуровневого атома определяется как $\langle E \rangle = p_0 \cdot E_0 + p_1 \cdot E_1$, где $E_0$, $p_0$ и $E_1$, $p_1$ представляют собой энергию и вероятность атома находиться в состоянии с такой энергией для основного и возбуждённого состояний соответственно. Для удобства полагаем $E_0 = 0$. Разность энергий двух состояний является регулируемой в ходе эксперимента величиной. Вероятность нахождения атома в состоянии с энергией $E$ определяется согласно распределению Больцмана как $p \propto e^{-E/k_BT}$, где $T$ — термодинамическая температура, $k_B$ — константа Больцмана. В квазистатическом процессе изменение средней энергии равно $d \langle E \rangle = p_1dE_1 + E_1dp_1$, и тогда $p_1 dE_1$, вызванное изменением уровня энергии, соответствует работе $dW$, а $E_1 dp_1$, вызванное изменением вероятности, соответствует подведённой к системе теплоте $dQ$.

1  ^6.00 Двухуровневая система находится в контакте и термостатом температурой $T$. Найдите вероятности $p_0$ и $p_1$ нахождения атома в основном и возбуждённом состояниях соответственно.

2  ^10.00 На рисунке показана $P-V$ диаграмма так называемого цикла Отто, где $A \to B$ $C \to D$ — изохорические, а $B \to C$ и $D \to A$ — адиабатические процессы. Изобразите на схематичной диаграмме, как при этом меняются величины $E_1$ и $p_1$, найдите подведённую/отведённую теплоту, изменение внутренней энергии и совершённую работу для каждого из процессов цикла.

3  ^24.00 Аналогичным образом найдите подведённую/отведённую теплоту, изменение внутренней энергии и совершённую работу для каждого из процессов квантового цикла Карно. Если температуры нагревателя и холодильника в цикле Карно равны соответственно $T_h$ и $T_l$ и совпадают с максимальной и минимальной температурами, достигающимися в цикле Отто, сравните КПД этих двух циклов.