Два автономных исследовательских зонда движутся навстречу друг другу с выключенными двигателями в глубоком космосе вдали от других тел курсами, пересекающимися под прямым углом. Масса первого зонда равна $m_1=m$, а его скорость $v_1=v$. Масса второго зонда $m_2=4m$, а скорость $v_2=v/3$. В момент времени, когда расстояние между зондами становится равным $L$, а расстояние от первого зонда до точки пересечения траекторий — $x$, на обоих зондах включаются двигатели с постоянной по модулю силой тяги $F$, при этом вектор силы тяги в любой момент времени направлен противоположно направлению на другой зонд. Рисунок приведён для момента включения двигателей. Двигатели выключаются, когда расстояние между зондами становится равным $2L$. Размеры зондов малы по сравнению с $L$, а их гравитационным взаимодействием можно пренебречь.

1 При каком значении $x = x_{\text{кр}}$ произошло бы столкновение зондов, если бы двигатели на них не включались?

2 Найдите минимальное значение силы тяги $F_{\text{мин}}$ при котором зонды не столкнутся, если $x = x_{\text{кр}}$.

3 Пусть величины сил тяги двигателей равны $F=F_{\text{мин}}+dF$ ($dF\ll{F_{\text{мин}}}$), а $x = x_{\text{кр}}$. Найдите $\textbf{вектор}$ конечной скорости первого зонда в виде $\alpha\vec{v_1}+\beta\vec{v_2}$.

4 Пусть сила тяги двигателей равна $F$, а $x = x_1$ ($x_1>x_{\text{кр}}$). Найдите $\textbf{модуль}$ конечной скорости первого зонда относительно второго.