На рисунке ниже показана упрощённая модель электромобиля. Передние колёса (рассматриваются как единый объект массой $m$) и задние колёса (аналогично, масса $m$) представляют собой два однородных цилиндрических тела радиусом $r$, расстояние между осями которых $L$. Остальная часть автомобиля представима в виде твёрдого тела массой $M$, центр масс которого расположен посередине между осями колёс. При решении задачи пренебрегите сопротивлением воздуха и трением в осях колёс. Ответы приводите с точностью в две значащие цифры.
Двигатели многих электромобилей представляют собой электродвигатели постоянного тока с постоянными магнитами в качестве статора. В упрощённой модели двигателя катушка (ротор) движется в постоянном и однородном магнитном поле $B$ перпендикулярно его силовым линиям. Общая длина обмотки катушки $l$, её радиус $r_c$, сопротивление обмотки $R_c$, самоиндукцией катушки можно пренебречь. Напряжение холостого хода источника, питающего катушку, равно $V$, а его внутреннее сопротивление — $R_i$. Трение между движущимися частями двигателя считайте незначительным.
1 Найдите крутящий момент двигателя $\tau(\omega)$ в зависимости от угловой скорости последнего, его максимальное значение $\tau_{\max}$, максимальное значение угловой скорости $\omega_{\max}$ (когда крутящий момент равен нулю) и максимальную мощность двигателя $P_{\max}$. Для упрощения дальнейших вычислений выразите $\tau(\omega)$ через $\omega_{\max}$, $\tau_{\max}$ и $P_{\max}$.
Рассмотрим процесс разгона электромобиля на ровной поверхности, начинающегося из состояния покоя в момент времени $t=0$. Известно, что в отсутствие проскальзывания между колёсами и землёй ускорение электромобиля равно\[a=\frac{\tau}{r(M+3m)},\]где $\tau$ — крутящий момент, передаваемый колёсам двигателем и направленный по часовой стрелке. Двигатель и колёса соединены трансмиссией, КПД которой считайте равным $100\%$, а отношение угловой скорости двигателя к угловой скорости колеса равно передаточному числу $r_t$.
$\textit{Численные значения:}$ $M=1.8\cdot10^3~кг$, $h=0.1~м$, $r=0.40~м$, $L=2,9~м$, максимальный крутящий момент двигателя $\tau=4.0\cdot10^2~Н\cdotм$, отношение угловой скорости двигателя к угловой скорости колеса (передаточное число) $r_t=10$. Масса колёс пренебрежимо мала по сравнению с массой автомобиля. Момент инерции однородного цилиндра радиусом $r$ и $m$ относительно центральной оси $J=\frac12mr^2$.