1  ^2.00 Найдите $\alpha_1$, $\beta_1$, $\alpha_2$, $\beta_2$ и зависимость тока от времени, $i(t)$.

Уравнение колебаний тока:\[Ri(t)+L\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}i(t)+\cfrac1C\int\limits_0^ti(t')~\mathrm dt'+(-R_0)i(t)=0\]Ищем решение для тока в виде\[i(t)=\alpha_1e^{\beta_1t}+\alpha_2e^{\beta_2t}\]Учитывая начальные условия\[\begin{cases}i(0)=\alpha_1+\alpha_2=0\\i'(0)=\alpha_1\beta_1+\alpha_2\beta_2=\beta\end{cases}\](откуда следует, что $\alpha_1,\alpha_2\ne0$), получаем:\[(R-R_0)(\alpha_1e^{\beta_1t}+\alpha_2e^{\beta_2t})+L\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\alpha_1e^{\beta_1t}+\alpha_2e^{\beta_2t})+\cfrac1C\int\limits_0^t(\alpha_1e^{\beta_1t'}+\alpha_2e^{\beta_2t'})~\mathrm dt'=0\\\alpha_1\left[(R-R_0)+L\beta_1+\cfrac1{C\beta_1}\right]e^{\beta_1t}+\alpha_2\left[(R-R_0)+L\beta_2+\cfrac1{C\beta_2}\right]e^{\beta_2t}=\cfrac1C\left(\cfrac1{\beta_1}+\cfrac1{\beta2}\right)\]Взяв производную по $t$, имеем\[\alpha_1\left[(R-R_0)\beta_1+L\beta^2_1+\cfrac1{C}\right]e^{\beta_1t}+\alpha_2\left[(R-R_0)\beta_2+L\beta^2_2+\cfrac1{C}\right]e^{\beta_2t}=0\]Поскольку это равенство должно быть верно при произвольном $t$, множители в квадратных скобках должны занулиться. Итого получаем систему\[\begin{cases}(R-R_0)\beta_1+L\beta^2_1+\cfrac1{C}=0\\(R-R_0)\beta_2+L\beta^2_2+\cfrac1{C}=0\end{cases}\]Её решения:

Подставляя эти выражения в систему начальных условий, получаем ответы для $\alpha_{1,2}$:

Наконец, подставим полученные результаты в исходную формулу, чтобы получить искомую зависимость тока от времени:

2  ^1.50 При каких условиях в левой части контура возникает резонанс? Найдите резонансную частоту $f_H$ и ток $i_H(t)$ через $\rm RLCD$ в резонансе.

Чтобы в левой части контура возник резонанс, необходимо существование незатухающего колебательного решения для $i(t)$, т.е. должны выполняться условия:

При выполнении этой системы условий ток принимает вид\[i_H(t)=\beta\sqrt{LC}\cfrac{e^{it/\sqrt{LC}}-e^{-it/\sqrt{LC}}}{2i}=\beta\sqrt{LC}\sin\left(\frac t{\sqrt{LC}}\right)\]

Частота колебаний при этом:

3  ^1.50 При каких условиях колебания в левой части контура будут подавляться? Найдите частоту колебаний $f_D$ и ток $i_D(t)$ через $\rm RLCD$ в этом режиме.

Чтобы в левой части контура возникли затухающие колебания, необходимо:\[\begin{cases}R-R_0 > 0\\\left(\frac{R-R_0}{2L}\right)^2-\frac1{LC} < 0\end{cases}\implies\]

Ток в цепи при этом будет меняться по закону\[i_D(t)=\beta e^{-\frac{R-R_0}{2L}t}\frac{e^{i\sqrt{\frac1{LC}-\left(\frac{R-R_0}{2L}\right)^2}t}-e^{-i\sqrt{\frac1{LC}-\left(\frac{R-R_0}{2L}\right)^2}t}}{\sqrt{\left(\frac{R-R_0}{2L}\right)^2-\frac1{LC}}}=\frac{\beta e^{-\frac{R-R_0}{2L}t}}{\sqrt{\frac1{LC}-\left(\frac{R-R_0}{2L}\right)^2}}\sin\left[\sqrt{\frac1{LC}-\left(\frac{R-R_0}{2L}\right)^2}t\right]\]

Частота этих колебаний:

4  ^1.00 Найдите максимальную среднюю мощность $\overline P_{\max}$ переменной составляющей тока, накачиваемую в систему с помощью туннельного диода, и соответствующую ей ЭДС источника $V_0$.

Чтобы максимизировать мощность, накачиваемую в систему с помощью диода, нужно обеспечить максимальную возможную амплитуду колебаний переменной составляющей напряжения. Таким образом, постоянная компонента напряжения (а вместе с ней и ЭДС источника, т.к. сопротивлением контура для постоянной компоненты можно пренебречь) должна составлять\[V_0=\overline V=\cfrac{V_\max+V_\min}2\]

Таким образом, максимальная амплитуда переменной компоненты напряжения\[V_{D\max}=\cfrac{V_\max-V_\min}2\]а максимальная средняя мощность тепловых потерь\[\overline P_\max=\cfrac12\cfrac{V_{D\max}^2}{R_0}=\cfrac{(V_\max-V_\min)^2}{8R_0}\]