Волоконно-оптический гироскоп – это оптический прибор, который позволяет точно определять ориентацию движущихся объектов и широко используется в современной навигации, авиации и космонавтике. Работа волоконно-оптического гироскопа основана на эффекте Саньяка: в оптоволоконном кольце радиусе $R$, вращающимся с угловой скоростью $\Omega$ (см. рис. 1), от закреплённого на кольце светоделителя $A$ выходят два когерентных луча: один по часовой (CW), а другой – против часовой стрелки (CCW). По возвращении лучей в $A$ оказывается, что их оптические пути различаются. Находя разность фаз лучей по изменению интерференционной картины, можно определить угловую скорость $\Omega$ вращения гироскопа относительно абсолютного пространства. Скорость света в вакууме равна $c$.

Как показано на рис. 2, оптическое волокно состоит из двух слоёв – внутреннего и внешнего. Показатели преломления во внутреннем и внешнем слоях равны соответственно $n_1$ и $n_2$ ($n_1 > n_2$). Показатель преломления вне оптоволокна равен $n_0$.

1 При каком угле падения $i$ света на торец оптоволокна луч сможет продолжать по нему движение?

Пусть теперь на кольцо гироскопа намотано $N$ витков оптоволокна, концы которого подключены к светоделителю $A$, а сам гироскоп вращается с угловой скоростью $\Omega$. Два когерентных световых луча распространяются от $A$ по оптоволокну по часовой стрелке и против часовой стрелки, после чего возвращаются обратно в $A$. Показатель преломления в оптоволокне равен $n_1$, длина волны используемого света в вакууме равна $\lambda$.

2 Какое время $t_{CW}$ и $t_{CCW}$ понадобится лучам, чтобы пройти по оптоволокну по часовой стрелки и против часовой стрелки соответственно. Чему будет равна разность фаз $\Delta\phi$ между двумя лучами? Как $\Delta\phi$ зависит от показателя преломления материала оптоволокна $n_1$?

Для уменьшения размеров гироскопа предлагается использовать резонансную гироскопическую систему, представляющую собой кольцевой резонатор радиуса $R$, вращающийся против часовой стрелки с угловой скоростью $\Omega$ ($R\Omega\ll c$). Показатель преломления материала оптоволокна известен и равен $n$. В резонаторе возможны два типа мод, волны в которых распространяются по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Когда резонатор не вращается, длина волны $\lambda_{m0}$, соответствующая этим модам, определяется из граничного условия $2\pi R=m\lambda_{m0}$, $m\in\mathbb N$. При вращении резонатора между частотами, соответствующими модам одного порядка (с одной и той же $m$), возникает разность $\Delta f$.

3 Как связаны $\Omega$ и $\Delta f$?