Logo
Logo

Чашка чая на табурете

В автомобиле находится табурет с тремя ножками, показанный на рисунке 1. Табурет можно считать твёрдым телом, его радиус равен $R$. Концы трёх его ножек образуют равносторонний треугольник со стороной $a$, лежащий в горизонтальной плоскости, а центр масс табурета находится в точке $G$ на его оси симметрии. В точке $O$ в середине табурета стоит цилиндрическая тонкостенная чашка радиусом $r$ и массой $m$ (её масса много меньше массы табурета), причём масса дна чашки равна $\frac m5$ (масса дна и стенок чашки распределена однородно). Высота стенок чашки $H$ (по сравнению с ней толщиной дна можно пренебречь). В чашку налит чай плотностью $\rho$, ускорение свободного падения $g$.

1 Найдите оптимальную высоту $H_{\max}$, до которой в чашку должен быть налит чай для её максимальной устойчивости.

В какой-то момент чашка начинает медленно скользить, пока не достигает точки $D$, где её край соприкасается с краем табурета (считайте, что на краю табурета имеется маленький однородный бортик, благодаря которому предметы не падают с него). Известно, что при этом $OD\perp AC$, как показано на рисунке 2.

2 Найдите изменение сил реакции опоры $\Delta N_i$, $i=A,B,C$, действующих на ножки табурета, в результате смещения чашки (т.е. их изменение по сравнению со случаем, когда чашка расположена в центре табурета).