Logo
Logo

Падение из апогея

Предположим, что Земля представляет собой однородный шар, а влиянием её вращения и наличия у неё атмосферы на движение искусственных спутников можно пренебречь. С космической станции, располагающейся на высоте $h$ над поверхностью Земли, запускают небольшой объект. Начальная скорость объекта относительно Земли направлена перпендикулярна линии, соединяющей его с центром планеты. Известны гравитационная постоянная $G$, а также масса и радиус Земли, $M$ и $R$ соответственно.

1 При какой начальной скорости $v_0$ возможно периодическое движение объекта?

2 Если начальная скорость объекта $v_0$ такова, что в дальнейшем он должен упасть на поверхность Земли, найдите величину $v$ и направление $\alpha$ (т.е. угол между скоростью и горизонтом) скорости объекта при падении на землю, а также время падения $t$.

Считайте известным при $c < 0$, $\Delta=b^2-4ac > 0$ значение интеграла:\[\int\frac{x\mathrm{~d}x}{\sqrt{a+bx+cx^2}}=\frac{\sqrt{a+bx+cx^2}}c-\frac b{2(-c)^{\frac32}}\arcsin\frac{2cx+b}{\sqrt{\Delta}}+C,\]где $C$ — константа интегрирования.