Как показано на рисунке, тонкий однородный стержень $AB$ массой $M$ и длиной $l$ может свободно вращаться в вертикальной плоскости $xOy$ (ось $x$ направлена вправо) вокруг горизонтальной оси, проходящей через начало координат $O$ (конец стержня $A$ совпадает с $O$ и потому не отмечен на рисунке). Точка $O$ расположена на достаточной высоте над землёй, стержень изначально находится в положении равновесия.
В центр стержня попадает пуля массой $m$, движущаяся с горизонтальной скоростью $v_0$, и застревает в нём (при попадании пули горизонтальная составляющая силы, действующей на стержень со стороны оси, равна нулю). Когда стержень делает половину оборота и принимает вертикальное положение, контакт между ним и осью мгновенно пропадает. Ускорение свободного падения равно $g$.
1
Найдите приведённую длину стержня $L$ при вращении вокруг точки $O$.
2
Найдите силу $\vec N(\theta)$, действующую на стержень со стороны оси, в зависимости от угла поворота стержня $\theta$ ($0\leq\theta < \pi$) от момента попадания пули до потери контакта с осью.
3
Принимая момент потери контакта с осью за $t=0$, найдите положение конца стержня $\left(\begin{array}{c}x_B(t)\\y_B(t)\end{array}\right)$ в зависимости от времени от момента потери контакта до касания стержнем земли.
4
Найдите разность высот $h\equiv|y_O-y_B|$ между точками $O$ и $B$ в тот момент, когда стержень совершит ещё половину оборота после потери контакта с осью.