Pho.rs: Ловушка Иоффе--Питчарда

Условие

Edu

CN18^o

Показанная на рисунке магнитная ловушка Иоффе–Питчарда используется для ограничения области движения атомов. Все четыре провода перпендикулярны плоскости $xOy$, и по каждому из течёт постоянный ток $I$. Сечение проводов плоскостью $xOy$ – вершины квадрата со стороной $2a$ и центром в начале координат $O$. Плоскость, образуемая проводами 1 и 2, параллельна оси $x$, а направление токов в каждом проводе показано на рисунке. Описанная система помещена в однородное магнитное поле $\vec B_0=B_0\vec k$ ($\vec k$ – единичный вектор вдоль оси $z$). Магнитная проницаемость вакуума равна $\mu_0$.

1 Найдите распределение индукции магнитного поля $\vec B(x,y)$, создаваемого токами во всём пространстве вне проводов.

2 Найдите с точностью до первого неисчезающего члена приближённое выражение для индукции магнитного поля $\vec B(x,y)$, создаваемого токами в окрестности начала координат $O$.

Рассмотрим атом в магнитной ловушке. Потенциальная энергия атома, связанная с его движением в магнитном поле, пропорциональна индукции полного поля $\vec B_{\rm tot}$ в точке нахождения атома, т.е. даётся формулой $V=\mu|\vec B_{\rm tot}|$, где $\mu$ – некоторая положительная постоянная.

3 Найдите силу $\vec F(x,y)$ действующую на атом со стороны магнитного поля в окрестности начала координат $O$.

4 Через какие точки плоскости $xOy$ атомам проще всего покинуть магнитную ловушку? Найдите минимальную кинетическую энергию $E_{\rm k}$, которую имеет вдали от начала координат покинувший ловушку атом.