Pho.rs: Комета

Условие

Edu

CN17^o

Траектория космического тела $P$ (астероида или кометы), вращающегося вокруг Солнца, представляет собой коническое сечение, задаваемое в полярных координатах формулой\[r=\frac k{1+\varepsilon\cos\theta},\]где $r$ – расстояние между $P$ и Солнцем $S$, $\theta$ – угол между радиус-вектором $SP$ и осью симметрии $SA$ (его значение считается положительным при обходе по часовой стрелке), $k=\frac{L^2}{GMm^2}$, где $L$ – момент импульса $P$ относительно Солнца, $G=6.67\cdot10^{-11}~\frac{\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{с}^2}$ – гравитационная постоянная, $M=1.99\cdot10^{30}~\text{кг}$ – масса Солнца, $\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{G^2M^2m^3}}$ – эксцентриситет, а $m$ и $E$ – масса и полная механическая энергия $P$ соответственно.

Предположим, что комета вращается вокруг Солнца по параболической орбите. Орбиту Земли можно считать круговой с радиусом $R_E=1.49\cdot10^{11}~\text{м}$. Точки пересечения двух орбит обозначим $C$ и $D$, как показано на рисунке. Расстояние от перигелия $A$ орбиты кометы до Солнца в три раза меньше радиуса Земной орбиты. Гравитационным взаимодействием Земли и кометы можно пренебречь.

1 Найдите, за какое время $T$ комета сможет дважды пересечь земную орбиту.

2 Найдите скорости кометы $v_C$ и $v_D$ при прохождении точек $C$ и $D$ соответственно.

Считайте известным следующий интеграл:\[\int\frac{x\mathrm{~d}x}{\sqrt{x+a}}=\frac23(x+a)^{\frac32}-2a(x+a)^{\frac12}+C,\]где $C$ – константа интегрирования.