Схематичное устройство датчика растяжения показано на рисунке 1. Он состоит из цилиндрического пластикового стержня радиусом $r_2$ с тонкой намоткой из $N$ ($N\gg1$) витков. Нить, из которой выполнена намотка, состоит из эластичного и не проводящего ток материала, её радиус равен $r_1$, а внешняя поверхность равномерно покрыта слоем графена толщиной $t$ ($t\ll r_1\ll r_2$) и удельным сопротивлением $\rho$. Для обеспечения хорошего контакта с намоткой на обоих концах датчика добавлены кольцевые электроды.

В нерастянутом состоянии намотку можно рассматривать как $N$ расположенных рядом друг с другом овальных колец. Угол между плоскостью кольца и плоскостью, нормальной к оси симметрии стержня, равен $\theta$ (см. рисунок 1). Контактное сопротивление между двумя соседними кольцами в намотке равно $R_c$.

Пусть теперь датчик растягивают вдоль оси стержня. Тогда между нитью намотки образуется $n$ промежутков. В каждом из них находится один полный виток, который самопроизвольно приходит в состояние, в котором представляет собой последовательно соединённые незамкнутое кольцо и два коротких прямых участка (параллельных оси стержня; см. рисунок 2). Считайте, что величины $\theta$, $r_1$, $r_2$, $\rho$ и $t$ остаются неизменными при растяжении датчика.

1 Найдите $\varepsilon$ датчика после растяжения ($\varepsilon$ определяется как отношение увеличения расстояния между кольцевыми электродами к его исходному значению) и относительное изменение сопротивления $\frac{\Delta R}{R_0}$ между электродами.

2 Если между кольцевыми электродами датчика в нерастянутом состоянии течёт ток $I$, найдите индукцию магнитного поля $B_\rm{total}$ в точке $P$ (не показана на рисунке), находящейся на оси симметрии стержня на расстоянии $D$ от его центра $O$ ($D$ много больше размеров датчика).

Известно, что длина эллипса с большой и малой полуосями $a$ и $b$ ($b\neq0$) соответственно примерно равна $\pi\left(\frac32(a+b)-\sqrt{ab}\right)$.