Logo
Logo

Конденсатор переменной ёмкости

Как показано на рисунке, конденсатор состоит из $N+1$ одинаковых тонких двухсекторных металлических пластин, закреплённых на общем проводящем основании, и $N$ таких же пластин, закреплённых на вращающейся проводящей оси, являющейся осью симметрии системы. Все пластины расположены перпендикулярно оси. Проекции всех подвижных пластин на плоскость, перпендикулярную оси симметрии, совпадают, то же справедливо и для неподвижных. Радиусы секторов пластин равны $R$, а их центральные углы – $\theta_0$ $\left(\frac\pi2\leq\theta < \pi\right)$. Подвижные и неподвижные пластины расположены в конденсаторе поочерёдно, расстояние между двумя соседними равно $s$. Ёмкость $C$ такого конденсатора представляет собой функцию угла $\theta$ поворота системы подвижных пластин. Известен коэффициент пропорциональности $k$ в законе Кулона.

Угол $\theta$ выбран так, что при $\theta=0$ проекции всех пластин на плоскость, перпендикулярную оси симметрии, совпадают.

1 Пренебрегая краевыми эффектами, найдите, как зависит от угла поворота ёмкость конденсатора $C(\theta)$ при $-\theta_0\leq\theta\leq\theta_0$.

Когда ёмкость конденсатора близка к максимальной, к нему подключают источник с ЭДС $E$. В процессе зарядки угол поворота системы подвижных пластин поддерживается постоянным. После зарядки конденсатор отключают от источника.

2 Найдите заряд $Q_\max$ на конденсаторе и момент сил $T$, необходимый для приведения пластин в движение.

Пусть теперь $\theta_0=\frac\pi2$. В силу краевых эффектов $C(\theta)$ можно рассматривать как гладкую функцию, колеблющуюся между своим максимальным и минимальным значениями по закону\[C(\theta)=\frac12\left(C_\min+C_\max\right)+\frac12\left(C_\max-C_\min\right)\cos2\theta,\]где $C_\max$ можно считать равной своему значению из пункта 1, а $C_\min$ определяется сугубо краевыми эффектами, а её отношение к $C_\max$ известно и равно $\lambda$.

Пусть система подвижных пластин конденсатора вращается с постоянной угловой скоростью $\omega_m$, т.е. $\theta=\omega_mt$, а на конденсатор подаётся напряжение $V=V_0\cos\omega t$.

3 Найдите среднюю энергию конденсатора $\overline U$ и $\omega_m$, при котором $\overline U$ максимально.