В последние годы особое внимание уделяется $Z$-пинчу как одному из возможных способов реализации инерциального управляемого термоядерного синтеза. Принцип работы $Z$-пинча показан на рисунке. Два кольца вольфрамовых проволок длиной $20~мм$ и диаметром $5~мкм$ расположены соосно. По проволокам в некоторый момент времени начинают пропускать очень большой ток, и под действием силы Ампера они начинают движение к оси цилиндров с большим ускорением. Огромный импульс проволок передаётся дейтерий-тритиевой мишени в середине, имеющей диаметр порядка нескольких миллиметров, доводя её до достаточно высоких плотности и температуры для осуществления термоядерного синтеза.

Пусть внутреннее кольцо состоит из $N$ проволок (рассматривайте их как прямые и достаточно длинные), расположенных равномерно вдоль окружности радиуса $r$, и суммарный ток через них равен $I=2\cdot10^7~А$. Внешнее кольцо состоит из $M$ проволок, расположенных равномерно вдоль окружности радиуса $R$, и через каждую из них протекает тот же ток, что и через проволоки внутреннего кольца.

Известно, что магнитная индукция длинного прямого провода с током $i$ на расстоянии $r$ от него равна $\frac{k_mi}r$, где коэффициент пропорциональности $k_m=2\cdot10^{-7}~\frac{Тл}А=2\cdot10^{-7}~\fracН{А^2}$. Влиянием поддерживающей мишень опоры при решении задачи пренебрегите.

1 Пренебрегая действием внешнего кольца, найдите силу ампера $F$, действующую на небольшой участок проволоки длиной $\Delta L$ в середине проволоки внутреннего кольца.

Пусть теперь проволоки внутреннего кольца расплавляются и обхватывают цилиндрическую поверхность радиуса $r=0.25~см$.

2 Пренебрегая действием внешнего кольца, найдите силу Ампера $P$, действующую на единицу площади этой поверхности. Какому числу атмосфер эквивалентно это давление?

3 Докажите, что внутри длинного цилиндра, ток по которому течёт равномерно вдоль оси симметрии, равно нулю, т.е. наличие внешнего кольца проволок не меняет результаты предыдущих двух пунктов.

При $N\gg1$ индукция магнитного поля, создаваемого внутренним кольцом проволок в области внешнего кольца, равна $\frac{k_mI}R$. Для осуществления термоядерного синтеза необходимо, чтобы сила Ампера, действующая на единицу площади воображаемого цилиндра, проходящего через проволоки внешнего кольца, была больше соответствующей силы для внутреннего кольца.

4 При каких значениях радиуса $R$ такое возможно?

По теореме о циркуляции индукция магнитного поля, создаваемого током, текущим равномерно по цилиндру вдоль его оси, за пределами цилиндра равна индукции поля, создаваемого этим же током, текущим вдоль оси цилиндра.

5 Докажите это утверждение, не используя теорему о циркуляции.