Тонкий однородный стержень массой $m$ и длиной $L$ может свободно вращаться в вертикальной плоскости горизонтальной оси, проходящей через $O$ – один из его концов. В начальный момент своего движения стержень горизонтален и находится в состоянии покоя. Ускорение свободного падения равно $g$.

Пусть $\lambda\equiv\frac mL$ – линейная плотность стержня. Когда он вращается вокруг оси, проходящей через $O$, с угловой скоростью $\omega$, его кинетическая может быть выражена в виде\[E_\mathrm k=k\lambda^\alpha\omega^\beta L^\gamma,\]где $k$ – безразмерная постоянная.

Известно, что две физические величины равны тогда и только тогда, когда в одной и той же системе единиц равны их значения и единицы измерения.

1 Найдите $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Известно, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии в системе отсчёта центра масс и кинетической энергии движения центра масс.

2 Найдите $k$.

3 Найдите силу взаимодействия $\left(\begin{array}{c}T\\N\end{array}\right)$ двух частей стержня между собой на расстоянии $r$ от точки $O$, когда стержень находится под углом $\theta$ к горизонту (здесь $T$ – касательная, а $N$ – нормальная компоненты силы взаимодействия).

$\textit{Примечание:}$ если $X(t)$ – функция $t$, а $Y(X(t))$ – функция $X(t))$, то производная $Y(X(t))$ по $t$ равна\[\frac{\mathrm dY(X(t))}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}\frac{\mathrm dX}{\mathrm dt}.\]Например, производная функции $\cos\theta(t)$ по независимой переменной $t$ равна\[\frac{\mathrm d\cos\theta(t)}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\cos\theta}{\mathrm d\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}.\]