Logo
Logo

МГД и преобразование полей

Две параллельные пластины конденсатора расположены в плоскостях $z=\pm\frac d2$, и конденсатор изначально не заряжен. Система находится в магнитном поле с индукцией $B$, направленной против оси $x$, как показано на рисунке.

В системе отсчёта конденсатора $S$ присутствует только магнитное поле, а в системе отсчёта $S'$, движущейся относительно конденсатора с постоянной скоростью $\left(\begin{array}{c}0\\v\\0\end{array}\right)$ вдоль оси $y$ (эта запись означает, что компоненты скорость вдоль осей $x$, $y$ и $z$ равны $0$, $v$ и $0$ соответственно) могут присутствовать как электрическое $\left(\begin{array}{c}E'_x\\E'_y\\E'_z\end{array}\right)$, так и магнитное $\left(\begin{array}{c}B'_x\\B'_y\\B'_z\end{array}\right)$ поля.

1 Применив преобразование Галилея, найдите в нерелятивистском пределе выражения для электрическое $\left(\begin{array}{c}E'_x\\E'_y\\E'_z\end{array}\right)$ и магнитного $\left(\begin{array}{c}B'_x\\B'_y\\B'_z\end{array}\right)$ полей в системе отсчёта $S'$ (при преобразовании Галилей заряд и действующая на тело сила являются инвариантами).

Пусть теперь между пластинами конденсатора с постоянной скоростью $v$ вдоль оси $y$ течёт изолирующая жидкость с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. В системе отсчёта жидкости $S'$ (т.е. системы отсчёта, движущейся относительно конденсатора) жидкость будет находиться в электрическом поле $\left(\begin{array}{c}E'_x\\E'_y\\E'_z\end{array}\right)$, поэтому она поляризуется, т.е. положительные и отрицательные заряды в ней будут перемещаться друг относительно друга под действием электрического поля. Из-за поляризации результирующая напряжённость электрического поля в жидкости будет уже не $\left(\begin{array}{c}E'_x\\E'_y\\E'_z\end{array}\right)$, а $\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}\left(\begin{array}{c}E'_x\\E'_y\\E'_z\end{array}\right)$, где $\varepsilon_0$ – диэлектрическая проницаемость вакуума. Это приводит к тому, что электрическое поле в системе отсчёта конденсатора $S$ больше не будет нулевым.

2 Найдите напряжённость $\left(\begin{array}{c}E_x\\E_y\\E_z\end{array}\right)$ электрического поля в системе отсчёта конденсатора $S$ и разность потенциалов $V$ между верхней и нижней пластинами конденсатора (выразите ответ через $\varepsilon_0$, $\varepsilon$, $v$, $B$ и $d$).